Windowed fourier transform python

Fourier Transform

Worksheet 1 focuses on using Python tasks to calculate the Fourier Transform of a few window functions. In this notebook, I will illustrate how you can generate a window function, and how you can calculate the associated Fourier Transform.

The Fourier Transform can be examined in many ways. The simplest interpretation is that the FT is a harmonic decomposition of a signal. You can calculate the FT analytically, if you’re lucky. If you’re even luckier, a finite Fourier Series will give you an accurate representation of your signal – provided that you have a simple signal. There is often an implicit assumption when calculating the analytical representation – that your input function goes from -infinity to +infinity.

In practice, astronomical signals are not perfect, simple sine-waves. Neither are they perfectly sampled, or sampled for infinite time. When you have a regularly sampled series, e.g., a time series, you can compute the Fourier Transform using the Fast Fourier Transform (FFT) Algorithm. This is what we’re doing in this worksheet – we are computing the FFT for a series of functions, and we are studying how similar or different the FT is to what we expect from the illustrations on the worksheet.

When in doubt, Google

There’s a reason why WS1 is short on details – there is a huge amount of resources on the internet that focuses on computing Fourier Transforms using python. In fact, if you Google Python Fourier Transform, the first hit will probably be the relevant SCIPY page.

Please note that there are lots of resources on how to generate window functions, such as the boxcar function. You can use a similar method to the one I’ve done below, or you can simply use a python function to define this. I leave it to you to figure it out.

Getting started

First, I’m going to import the important libraries, as suggested in the aforementioned URL. Note that %matplotlib inline command allows us to render plots within this notebook.

Also note how I have defined pylab and numpy in the Python namespace. This makes it easy to reference plotting and analytical functions from those libraries.

import numpy.fft as fft import pylab as pl import numpy as np %matplotlib inline 

The Shah Function

The Shah function (Comb) is a series of delta functions with some spacing dx.

The image below is from your WS1, and is one of the examples found in the ERA appendix on Fourier Transforms:

In the next cell I define the Shah function, by hand. Note how I use the np.mod function. This returns the remainder of division, so I’ve inserted an if statement that appends a 1 to the array if the index i is divisible by dx, and 0 if it isn’t. There are certainly many more methods to do this, but let’s do it the hard way for now.

I’ve also included comments on how I’ve constructed the Shah function and the associated plot.

# This is the step in the x direction. dx = 10 # Nx defines how many samples. The for-loop generates twice the number # of samples defined in Nx. Nx = 100 # Define empty arrays for x and y x = [] y = [] # The for-loop runs from -Nx to +Nx in steps of 1. for i in range(-Nx,Nx+1): x.append(i) # The if statement appends a 1 if (i,5)=0, and 0 if (i,5)!=0. if np.mod(np.abs(i), dx)1: y.append(1.) else: y.append(0.) # Python likes to do math on arrays, so I'm going to covert x and y. x = np.array(x) # Now y contains the Shah function, which I'll plot shortly. y = np.array(y) # Note that I'm using the step plotting function. pl.step(x, y) # Set the y-limits on the plot. pl.ylim(0,2) 

Calculating the Fourier Transform

Now that we have generated the Shah function, we can use the fft library defined above.

 # I want the FFT to be smooth and well sampled, so I'm going to define # a variable that sets the number of points for the FFT. nftpoints = 100 # Now, I can calculate the FFT of y. # using norm='ortho' will normalize the FFT, and n=nftpoints will make # the FFT return the FT sampled with nftpoints. F = fft.fft(y, norm='ortho', n=nftpoints) # There is a method to calculate the associated frequency # in the Fourier domain. # Now I'm going to include a fairly complicated command. # fft.fftfreq computes the frequency spacing, and fft.fftshift # shifts/sorts the frequency axis so that it plots nicely. # The important command is fftfreq. freq = fft.fftshift(fft.fftfreq(nftpoints)) 

Plotting the FFT

Now that I’ve generated the window function and the associated FT, I can finally plot them in a way similar to the NRAO plot.

Here the subplot , step and ylim commands are important.

# First, plot the Shah function. pl.subplot(121) # Plot this in a black line, this is what 'k-' is for. pl.step(x, y, 'k-') # Set the y-limit so that it looks pretty. pl.ylim(0,2) pl.title('Shah Function') # Now, plot the FT. pl.subplot(122) # Note that I am plotting the absolute value of F, since F is an # array of complex numbers. pl.step(freq, np.absolute(F), 'k-') # Set the y-limit. pl.ylim(0,2) pl.title('FT of Shah Function') 

We need to note something important here. Recall that I set dx when I defined the Shah function above. Now, from the NRAO plot, I know that space between the spikes in the Fourier domain is given by the following: ds = 1/dx. You will note that this is the case in the plot above.

Источник

Модуль scipy.fft

Прежде чем начать, необходимо установить SciPy, NumPy (библиотека для работы с массивами) и Matplotlib (библиотека для визуализации данных). Вы можете сделать это одним из двух способов:

1. С помощью Anaconda: загрузите и установите Anaconda Individual Edition. В этот набор инструментов уже включены перечисленные библиотеки.
2. С помощью pip вы можете установить (или обновить) библиотеки посредством следующей команды:

Представьте, что вы использовали преобразование Фурье для записи того, как кто-то играет на фортепиано аккорд из трёх нот.

Результирующий частотный спектр покажет три пика – по одному для каждой ноты. Если человек играл одну ноту мягче, мощность для частоты этой ноты будет меньше, чем для двух других.

Зачем может понадобиться преобразование Фурье?

Преобразование Фурье полезно во многих приложениях. Например, Shazam и другие службы распознавания музыки используют преобразование Фурье для идентификации песен. Алгоритм сжатия JPEG представляет собой вариант преобразования Фурье, применяемый для удаления высокочастотных компонент изображений. В распознавании речи преобразование Фурье и связанные с ним преобразования служат для восстановления произнесенных слов.

Задача преобразования Фурье возникает всякий раз, когда нужно как-либо работать с сигналом, представляемым в пространстве частот.

Временная область против частотной области

Далее мы будем иметь дело с временно́й и частотной областями] – двумя подходами к представлению сигнала: как информации, которая изменяется во времени и информации, отображенной в виде набора частот и соответствующих им амплитуд.

Ниже представлено характерное изображение аудиосигнала – классического примера сигнала во временной области. Горизонтальная ось соответствует времени, вертикальная ось – амплитуде.

Тот же звуковой сигнал можно представить разложенным по составляющим его частотам. Горизонтальная ось на рисунке ниже представляет частоту, вертикальная ось – мощность.

Классификация преобразований Фурье

Преобразование Фурье подразделяют на категории по нескольким признакам. В первую очередь – по типу функций, с которыми работает преобразование: непрерывные или дискретные. В этом руководстве мы рассматриваем дискретное преобразование Фурье (DFT).

Термины DFT и FFT нередко используются как взаимозаменяемые. Однако это не совсем одно и то же: быстрое преобразование Фурье (FFT) – лишь один из алгоритмов вычисления дискретного преобразования Фурье.

Еще одна линия раздела в терминологии, с которым вы столкнетесь при использовании scipy.fft ,– разные типы ввода. Например, функция fft() принимает комплексные числа, а rfft() работает только с действительными числами. В дальнейшем мы обсудим это подробнее.

Практический пример: удаление нежелательного шума из аудиофайла

Чтобы лучше понять преобразование Фурье и то, как его можно применить, решим задачу фильтрации звука. Намеренно создадим звуковой сигнал с высокочастотным шумом, а затем удалим шум с помощью преобразования Фурье.

Создание сигнала

Одиночное гармоническое (синусоидальное) колебание представляют одну частоту и в музыкальном отношении является чистым тоном. Воспользуемся свойством таких волн для генерации звука:

Деление mixed_tone на максимальное значение масштабирует его в интервале от -1 до 1 . Умножение на 32767 масштабирует сигнал между -32767 и 32767 , что примерно соответствует диапазону np.int16 . Код отображает только первые 1000 точек, чтобы мы могли четче проследить структуру сигнала. Видимая нами синусоидальная волна – это сгенерированный тон 400 Гц, искаженный тоном 4000 Гц.

Чтобы прослушать звук, необходимо сохранить его в формате, который может прочитать аудиоплеер. Воспользуемся методом SciPy wavfile.write и сохраним результат в файле формата WAV. Выбранное нами 16-битное целочисленное представление является стандартным типом данных для wav-файлов.

На построенном спектре видны два пика на положительных частотах и два их зеркальных отражения в отрицательной области. Пики положительных частот находятся на позициях 400 и 4000 Гц.

Преобразование Фурье взяло колеблющийся сигнал и разложило его по содержащимся в нем частотам. Поскольку мы сами внесли только две частоты, на выходе преобразования мы видим только их. Симметричное представление в положительной и отрицательной областях – побочный эффект ввода действительных значений в преобразование Фурье, о чём мы поговорим подробнее в дальнейшем.

Самый важный раздел в этом небольшом скрипте – вычисление преобразования Фурье:

Фильтрация сигнала

Самая замечательная вещь в преобразовании Фурье заключается в том, что оно обратимо. Любой сигнал, измененный в частотной области, можно преобразовать обратно во временную область. Воспользуемся этим, чтобы отфильтровать высокочастотный шум.

Возвращаемые rfft() значения соответствуют мощности каждого частотного бина. Если мы установим мощность бина равной нулю, соответствующая частота перестанет присутствовать в результирующем сигнале во временной области:

Остался только один пик. Применим обратное преобразование Фурье, чтобы вернуться во временную область.

Применение обратного преобразования Фурье

Применение обратного FFT аналогично применению FFT:

Поскольку мы использовали rfft() , для обратного преобразования нужно использовать irfft() . Однако, если бы мы использовали fft() , обратной функцией была бы ifft() .

Как видите, теперь есть одна синусоида, колеблющаяся с частотой 400 Гц – мы успешно удалили шум на 4000 Гц.

Нормализуем сигнал и запишем результат в файл. Сделать это можно так же, как в прошлый раз:

При расчете полного преобразования Фурье (DFT) предполагается, что функция, по которой происходит вычисление, повторяется бесконечно. Однако преобразования DCT и DST позволяют учесть симметрию сигнала. Косинусное преобразование (DCT) предполагает, что функция продлевается за счет четной симметрии, а для DST – за счет нечетной симметрии.

На следующем изображении показано, как каждое преобразование представляет, как функция будет продолжаться в бесконечности.

На изображении выше полное преобразование повторяет функцию как есть. DCT отражает функцию по вертикали, а DST – по горизонтали. Обратите внимание, что симметрия DST приводит к существенным разрывам функции. Это вносит высокочастотные составляющие в результирующем частотном спектре. Если нет сведений о симметрии сигнала, лучше использовать DCT.

Есть множество примеров использования DCT в различных задачах, требующих высокой скорости преобразования Фурье, в том числе в алгоритмах JPEG, MP3 и WebM.

Заключение

Преобразование Фурье – это мощная концепция, применяемая в самых разных областях – от чистой математики до аудиотехники и даже финансов. В этом уроке мы рассмотрели:

• как и когда используется преобразование Фурье
• как выбрать нужную функцию из scipy.fft
• в чем разница между временной и частотной областями
• как посмотреть и изменить частотный спектр сигнала
• как использовать rfft() , чтобы преобразование выполнялось еще быстрее

Мы рассмотрели только базовую идею, но ее понимание поможет разобраться в других вопросах, связанных с преобразованием Фурье и представлением функций в виде частотных спектров.

Больше полезной информации вы можете получить на нашем телеграм-канале «Библиотека питониста». Рекомендуем также обратить внимание на учебный курс по Python от «Библиотеки программиста».

Источник