Вычисление ряда тейлора python

Библиотека Sympy: символьные вычисления в Python

Что такое SymPy ? Это библиотека символьной математики языка Python. Она является реальной альтернативой таким математическим пакетам как Mathematica или Maple и обладает очень простым и легко расширяемым кодом. SymPy написана исключительно на языке Python и не требует никаких сторонних библиотек.

Документацию и исходный код этой библиотеки можно найти на ее официальной странице.

Первые шаги с SymPy

Используем SymPy как обычный калькулятор

В библиотеке SymPy есть три встроенных численных типа данных: Real , Rational и Integer . С Real и Integer все понятно, а класс Rational представляет рациональное число как пару чисел: числитель и знаменатель рациональной дроби. Таким образом, Rational(1, 2) представляет собой 1/2 , а, например, Rational(5, 2) — соответственно 5/2 .

import sympy as sym a = sym.Rational(1, 2) # дает 1/2 a * 2 # дает 1

Библиотека SymPy использует библиотеку mpmath , что позволяет производить вычисления с произвольной точностью. Таким образом, ряд констант (например, пи, e), которые в данной библиотеке рассматриваются как символы, могут быть вычислены с любой точностью.

sym.pi**2 # результат pi**2 sym.pi.evalf() # результат 3.14159265358979 (sym.pi + sym.exp(1)).evalf() # результат 5.85987448204884

Как можно заметить, функция evalf() дает на выходе число с плавающей точкой.

В SymPy есть также класс, представляющий такое понятие в математике, как бесконечность. Он обозначается следующим образом: oo .

sym.oo > 99999 # результат True sym.oo + 1 # результат oo

Символы

В отличие от ряда других систем компьютерной алгебры, в SymPy можно в явном виде задавать символьные переменные. Это происходит следующим образом:

x = sym.Symbol('x') y = sym.Symbol('y')

После их задания, с ними можно производить различные манипуляции.

x + y + x - y # результат 2*x (x + y) ** 2 # результат (x + y)**2

С символами можно производить преобразования с использованием некоторых операторов языка Python. А именно, арифметических ( + , -` , «* , ** ) и логических ( & , | , ~ ) .

Библиотека SymPy позволяет задавать форму вывода результатов на экран. Обычно мы используем формат такого вида:

sym.init_printing(use_unicode=False, wrap_line=True)

Алгебраические преобразования

SymPy способна на сложные алгебраические преобразования. Здесь мы рассмотрим наиболее востребованные из них, а именно раскрытие скобок и упрощение выражений.

Раскрытие скобок

Чтобы раскрыть скобки в алгебраических выражениях, используйте следующий синтаксис:

3 * x * y ** 2 + 3 * y * x ** 2 + x ** 3 + y ** 3

При помощи ключевого слова можно добавить поддержку работы с комплексными переменными, а также раскрытие скобок в тригонометрических функциях.

sym.expand(x + y, complex=True)#результат re(?)+re(?)+?im(?)+?im(?) sym.expand(sym.cos(x + y), trig=True) # результат −sin(?)sin(?)+cos(?)cos(?)

Упрощение выражений

Если вы хотите привести выражение к более простому виду (возможно, сократить какие-то члены), то используйте функцию simplify .

sym.simplify((x + x * y) / x) # результат y + 1

Также надо сказать, что для определенных видов математических функций существуют альтернативные, более конкретные функции для упрощения выражений. Так, для упрощения степенных функций есть функция powsimp , для тригонометрических — trigsimp , а для логарифмических — logcombine , radsimp .

Вычисления

Вычисления пределов

Для вычисления пределов в SymPy предусмотрен очень простой синтаксис, а именно limit(function, variable, point) . Например, если вы хотите вычислить предел функции f(x) , где x -> 0 , то надо написать limit(f(x), x, 0) .

sym.limit(sym.sin(x) / x, x, 0) # результат 1

Также можно вычислять пределы, которые стремятся к бесконечности.

sym.limit(x, x, sym.oo) # результат oo sym.limit(1 / x, x, sym.oo) # результат 0 sym.limit(x ** x, x, 0) # результат 1

Дифференцирование

Для дифференцирования выражений в SymPy есть функция diff(func, var) . Ниже даны примеры ее работы.

sym.diff(sym.sin(x), x) # результат cos(?) sym.diff(sym.sin(2 * x), x) # результат 2cos(2?) sym.diff(sym.tan(x), x)

Проверим результат последней функции при помощи определения производной через предел.

sym.limit((sym.tan(x + y) - sym.tan(x)) / y, y, 0)

Также при помощи этой же функции могут быть вычислены производные более высоких порядков. Синтаксис функции будет следующим: diff(func, var, n) . Ниже приведено несколько примеров.

sym.diff(sym.sin(2 * x), x, 1) # результат 2cos(2?) sym.diff(sym.sin(2 * x), x, 2) # результат −4sin(2?) sym.diff(sym.sin(2 * x), x, 3) # результат −8cos(2?)

Разложение в ряд

Для разложения выражения в ряд Тейлора используется следующий синтаксис: series(expr, var) .

Интегрирование

В SymPy реализована поддержка определенных и неопределенных интегралов при помощи функции integrate() . Интегрировать можно элементарные, трансцендентные и специальные функции. Интегрирование осуществляется с помощью расширенного алгоритма Риша-Нормана. Также используются различные эвристики и шаблоны. Вот примеры интегрирования элементарных функций:

sym.integrate(sym.sin(x), x) # результат −cos(?) sym.integrate(sym.log(x), x) # результат ?log(?)−?

Также несложно посчитать интеграл и от специальных функций. Возьмем, например, функцию Гаусса:

sym.integrate(sym.exp(-x ** 2) * sym.erf(x), x)

Результат вычисления можете посмотреть сами. Вот примеры вычисления определенных интегралов.

sym.integrate(x**3, (x, -1, 1)) # результат 0 sym.integrate(sym.sin(x), (x, 0, sym.pi / 2)) # результат 1 sym.integrate(sym.cos(x), (x, -sym.pi / 2, sym.pi / 2)) # результат 2

Также можно вычислять определенные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы).

sym.integrate(sym.exp(-x), (x, 0, sym.oo)) # результат 1

Решение уравнений

При помощи SymPy можно решать алгебраические уравнения с одной или несколькими переменными. Для этого используется функция solveset() .

sym.solveset(x ** 4 — 1, x) # результат

Как можно заметить, первое выражение функции solveset() приравнивается к 0 и решается относительно х . Также возможно решать некоторые уравнения с трансцендентными функциями.

sym.solveset(sym.exp(x) + 1, x) # результат

Системы линейных уравнений

SymPy способна решать широкий класс полиномиальных уравнений. Также при помощи данной библиотеки можно решать и системы уравнений. При этом переменные, относительно которых должна быть разрешена система, передаются в виде кортежа во втором аргументе функции solve() , которая используется для таких задач.

solution = sym.solve((x + 5 * y - 2, -3 * x + 6 * y - 15), (x, y)) solution[x], solution[y] # результат (-3, 1)

Факторизация

Другим мощным методом исследования полиномиальных уравнений является факторизация многочленов (то есть представление многочлена в виде произведения многочленов меньших степеней). Для этого в SymPy предусмотрена функция factor() , которая способна производить факторизацию очень широкого класса полиномов.

f = x ** 4 - 3 * x ** 2 + 1 sym.factor(f)

Булевы уравнения

Также в SymPy реализована возможность решения булевых уравнений, что по сути означает проверку булевого выражения на истинность. Для этого используется функция satisfiable() .

sym.satisfiable(x & y) # результат

Данный результат говорит нам о том, что выражение (x & y) будет истинным тогда и только тогда, когда x и y истинны. Если выражение не может быть истинным ни при каких значениях переменных, то функция вернет результат False .

sym.satisfiable(x & ~x) # результат False

Линейная алгебра

Матрицы

Матрицы в SymPy создаются как экземпляры класса Matrix :

В отличие от NumPy , мы можем использовать в матрицах символьные переменные:

x, y = sym.symbols('x, y') A = sym.Matrix([[1, x], [y, 1]]) A

И производить с ними разные манипуляции:

Дифференциальные уравнения

При помощи библиотеки SymPy можно решать некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения. Для этого используется функция dsolve() . Для начала нам надо задать неопределенную функцию. Это можно сделать, передав параметр cls=Function в функцию symbols() .

f, g = sym.symbols('f g', cls=sym.Function)

Теперь f и g заданы как неопределенные функции. мы можем в этом убедиться, просто вызвав f(x) .

f(x) # результат ?(?) f(x).diff(x, x) + f(x)

Теперь решим следующее дифференциальное уравнение:

sym.dsolve(f(x).diff(x, x) + f(x), f(x)) # результат ?(?)=?1sin(?)+?2cos(?)

Чтобы улучшить решаемость и помочь этой функции в поиске решения, можно передавать в нее определенные ключевые аргументы. Например, если мы видим, что это уравнение с разделяемыми переменными, то мы можем передать в функцию аргумент hint=’separable’ .

sym.dsolve(sym.sin(x) * sym.cos(f(x)) + sym.cos(x) * sym.sin(f(x)) * f(x).diff(x), f(x), hint='separable') # результат [Eq(f(x), -acos(C1/cos(x)) + 2*pi), Eq(f(x), # acos(C1/cos(x)))]

Источник

Синус Х, ряд Тейлора

Разложение sin(x) в ряд Тейлора
Синус sin(x) =x−(x3/3!)+(x5/5!)+· · ·=∑∞n=0(−1)n(x2n+1/(2n+1)!). Формула хорошо ра-ботает.

Ряд Тейлора
Дан ряд Тейлора, помогите написать код на python

Ряд Тейлора
Вычислить функцию arcsin(x) через ряд Тейлора: для |x|<1. Значение x – действительное число, n –.

Ряд Тейлора
Здравствуйте, товариСЧи, столкнулся вот с такой задачей в лабораторной работе: "Вычислить и вывести.

Сообщение от Kakadrilus

В первой строке переводим в радианы, во второй строке работаем с градусами. Надо определиться.

Добавлено через 3 минуты
Хотя, если угол не слишком большой, то в принципе должно работать.

>>> my_sin(30, 10) 0.49999999999999994

в первой строке я же как раз радианы перевожу в градусы, а потом убираю период. Для небольших углов работает неплохо, но когда ввожу большие числа, синус выходит за допустимые рамки. Не пойму почему

Сообщение от Kakadrilus

Пайтон, ряд Тейлора
Доброго дня! Не могли бы вы мне помощь. Написать программу вычисления значения функции, заданной.

Вычисление через ряд Тейлора
Вычислить и вывести на экран монитора в виде таблицы значения функции, заданной с помощью ряда.

Разложение x*(1-cos(x)) в ряд Тейлора
Всем привет! Необходимо используя разложения стандартных функций в ряд Тейлора в окрестности.

Альтернативный ряд тейлора с отдельным методом
Как можно упростить код или сделать по другому? Помогите пожалуйста. Необходимо Посчитать функцию.

Вычисление значения функции заданной разложением в ряд Тейлора
Есть ряд бесконечной суммы: x-(x^2/2!)+(x^4/4!)-. Написал код, а решение вычисляет неправильно.

Вычислить значение функции заданной разложением в ряд Тейлора
Вычислить и вывести на экран монитора в виде таблицы значения функции, заданной с помощью ряда.

Вывести таблицу значений функции и ее разложения в ряд Тейлора
Вывести таблицу значений функции и ее разложения в ряд Тейлора Задача на фото П.5.18.Правил .

Источник