Симплексный метод решения задач линейного программирования двойственный метод

Решение двойственной задачи линейного программирования

Инструкция . Выберите количество переменных и количество ограничений прямой задачи линейного программирования, нажмите Далее . Полученное решение сохраняется в файле Word и Excel . При этом ограничения типа x_i ≥ 0 не учитывайте. Если прямая задача ЛП не имеет решение, но требуется составить двойственную задачу или одна из переменных x_i неопределена, то можно использовать этот калькулятор.

Определив обратную матрицу А -1 через алгебраические дополнения, получим:
Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A -1 расположена в столбцах дополнительных переменных x₄ , x₅ , x₆ .
Тогда Y = C*A -1 =
Оптимальный план двойственной задачи равен: y₁ = 23.75, y₂ = 12.5, y₃ = 0
Z(Y) = 1100*23.75+120*12.5+8000*0 = 27625
Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:
0.1*250 + 0.2*5375 + 0.4*0 = 1100 = 1100
0.05*250 + 0.02*5375 + 0.02*0 = 120 = 120
3*250 + 1*5375 + 2*0 = 6125 < 8000 1-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₁>0).
2-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₂>0).
3-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 3-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y₃ = 0.
Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.
При постановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:
0.1*23.75 + 0.05*12.5 + 3*0 = 3 = 3
0.2*23.75 + 0.02*12.5 + 1*0 = 5 = 5
0.4*23.75 + 0.02*12.5 + 2*0 = 9.75 > 4
1-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x₁>0).
2-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x₂>0).
3-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 3-го вида использовать экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане прямой задачи x₃ = 0.
Величина двойственной оценки показывает, на сколько возрастает значение целевой функции при увеличении дефицитного ресурса на единицу.
Например, увеличении 1-го ресурса на 1 приведет к получению нового оптимального плана, в котором целевая функция возрастает на 23.75 и станет равной: F(x) = 27625 + 23.75 = 27648.75
Проведем анализ устойчивости оптимального плана и оценим степень влияния изменения ресурсов на значение целевой функции.
Пусть каждое значение параметра целевой функции изменится на ∆ с_i. Найдем интервалы, при которых будет экономически выгодно использование ресурсов.
1-ый параметр целевой функции может изменяться в пределах:

-3.8 ≤ с₁ ≤ 1
Таким образом, 1-параметр может быть уменьшен на 3.8 или увеличен на 1
Интервал изменения равен: [3-3.8; 3+1] = [-0.8;4]
Если значение c₁ будет лежать в данном интервале, то оптимальный план не изменится. 2-ый параметр целевой функции может изменяться в пределах:

-10 ≤ b₂ ≤ 30
Таким образом, 2-ый запас может быть уменьшен на 10 или увеличен на 30
Интервал изменения равен: [120-10; 120+30] = [110;150]
Составим субоптимальные варианты плана с учетом изменений исходных данных модели (таблицы).
Пусть 2-ый ресурс увеличили на 50

Базисные переменные	Значение базисных переменных	Коэффициент структурных сдвигов k c	Произведение k c на (50)	Расчет варианта плана
x 2	5375	6.25	312.5	5687.5
x 1	250	-2.5	-125	125
x 6	1875	1.25	62.5	1937.5
F(X)	27625	23.75	1187.5	28812.5

Пусть 1-ый ресурс уменьшили на -5

Базисные переменные	Значение базисных переменных	Коэффициент структурных сдвигов k c	Произведение k c на (-5)	Расчет варианта плана
x 2	5375	-12.5	62.5	5437.5
x 1	250	25	-125	125
x 6	1875	-62.5	312.5	2187.5
F(X)	27625	12.5	-62.5	27562.5

Задание : Для исходной задачи составить двойственную. Решить обе задачи симплексным методом или двойственным симплексным методом и по решению каждой из них найти решение другой. Одну из задач решить графическим методом.
F(X) = 3x₁ + x₂ → min
— 2x₁ + x₂≥4
2x₁ + x₂≤8
3x₁ + 2x₂≥6
Решение.
I этап. Приводим систему к каноническому виду.
II этап. Решаем симплекс-методом.
Примечание: Если задача решается данным калькулятором, то предыдущие два этапа пропускаем, поскольку они автоматически включены в решение.
На втором этапе окончательный вариант симплекс-таблицы имеет вид:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	2	-7	0	-2	0	1	2	-1
x4	4	4	0	1	1	0	-1	0
x2	4	-2	1	-1	0	0	1	0
F(X3)	4	-5	0	-1	0	0	1-M	-M

Так как в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные (они равны нулю), то данное решение является допустимым. Записываем оптимальный план:
x₁ = 0, x₂ = 4, F(X) = 1•4 = 4 Составим двойственную задачу к прямой задаче.
— 2y₁ + 2y₂ + 3y₃≤3
y₁ + y₂ + 2y₃≤1
4y₁ + 8y₂ + 6y₃ → max
y₁ ≥ 0, y₂ ≤ 0, y₃ ≥ 0
Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи. Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A -1 . Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

Источник

Пример решения прямой и двойственной задачи симплекс методом

Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b₁ = 240, b₂ = 200, b₃ = 160 единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве a₁₁ = 2 единицы, ресурса второго вида в количестве a₂₁ = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a₃₁ = 4 единицы. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве a₁₂ = 3, a₁₃ = 6 единицы, ресурса второго вида в количестве a₂₂ = 2, a₂₃ = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a₃₂ = 6, a₃₃ = 8 единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно c₁ = 4, c₂ = 5, c₃ = 4 (тыс. руб.). Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.

К прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплекс методом, составить двойственную задачу линейного программирования.
Установить сопряженные пары переменных прямой и двойственной задачи.
Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи, в которой производится оценка ресурсов, затраченных на продажу товаров.

Решение задачи симплекс методом

Пусть x₁, x₂, x₃ — количество реализованных товаров, в тыс. руб., 1, 2, 3 — ей групп, соответственно. Тогда математическая модель задачи имеет вид.

Решаем симплекс методом.
Вводим дополнительные переменные x₄ ≥ 0, x₅ ≥ 0, x₆ ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.

В качестве базиса возьмем x₄ = 240; x₅ = 200; x₆ = 160.
Данные заносим в симплекс таблицу

Симплекс таблица № 1

A = (A5, A4, A2) =
Основные			Дополнительные
x1	x2	x3	x4	x5	x6
y4	y5	y6	y1	y2	y3
Дополнительные			Основные

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 08-12-2011

Источник