Симплекс методом решить следующие задачи линейного программирования

Решение задач линейного программирования

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для решения задач линейного программирования симплексным методом путем перехода к КЗЛП и СЗЛП . При этом задача на минимум целевой функции сводятся к задаче на поиск максимума через преобразование целевой функции F*(X) = -F(X) . Также имеется возможность составить двойственную задачу.

  1. Переход к КЗЛП. Любая ЗЛП вида ax ≤ b , ax ≥ b , ax = b ( F(X) → extr ) сводится к виду ax = b , F(X) → max ;
  2. Переход к СЗЛП. КЗЛП вида ax = b сводится к виду ax ≤ b , F(X) → max ;
  3. Решение симплексным методом;
  • Шаг №1
  • Шаг №2
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word

Инструкция . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений). Полученное решение сохраняется в файле Word .

Переход от задачи минимизации целевой функции к задаче максимизации

Задача минимизации целевой функции F(X) легко может быть сведена к задаче максимизации функции F*(X) при тех же ограничениях путем введения функции: F*(X) = -F(X) . Обе задачи имеют одно и то же решение X*, и при этом min(F(X)) = -max(F*(X)) .
Проиллюстрируем этот факт графически:

F(x) → min F(x) → max

Для оптимизации функции цели используем следующие понятия и методы.
Опорный план – план с определёнными через свободные базисными переменными.
Базисный план – опорный план с нулевыми базисными переменными.
Оптимальный план – базисный план, удовлетворяющий оптимальной функции цели (ФЦ).

Ведущий (разрешающий) элемент – коэффициент свободной неизвестной, которая становится базисной, а сам коэффициент преобразуется в единицу.
Направляющая строка – строка ведущего элемента, в которой расположена с единичным коэффициентом базисная неизвестная, исключаемая при преобразовании (строка с минимальным предельным коэффициентом, см. далее).
Направляющий столбец – столбец ведущего элемента, свободная неизвестная которого переводится в базисную (столбец с максимальной выгодой, см. далее).

Читайте также:  Машинный код процессора понятие программы уровни языков программирования

Переменные x1, …, xm, входящие с единичными коэффициентами только в одно уравнение системы, с нулевыми – в остальные, называются базисными или зависимыми. В канонической системе каждому уравнению соответствует ровно одна базисная переменная. Переход осуществляется с помощью метода Гаусса–Жордана. Основная идея этого метода состоит в сведении системы m уравнений с n неизвестными к каноническому виду при помощи элементарных операций над строками.
Остальные n-m переменных (xm+1,…, xn) называются небазисными или независимыми переменными.

Базисное решение называется допустимым базисным решением, если значения входящих в него базисных переменных xj≥0, что эквивалентно условию неотрицательности bj≥0.
Допустимое базисное решение является угловой точкой допустимого множества S задачи линейного программирования и называется иногда опорным планом.
Если среди неотрицательных чисел bj есть равные нулю, то допустимое базисное решение называется вырожденным (вырожденной угловой точкой) и соответствующая задача линейного программирования называется вырожденной.

Пример №1 . Свести задачу линейного программирования к стандартной ЗЛП.
F(X) = x1 + 2x2 — 2x3 → min при ограничениях:
4x1 + 3x2 — x3≤10
— 2x2 + 5x3≥3
x1 + 2x3=9
Для приведения ЗЛП к канонической форме необходимо:
1. Поменять знак у целевой функции. Сведем задачу F(X) → min к задаче F(X) → max. Для этого умножаем F(X) на (-1). В первом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4; во втором неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x5 со знаком минус.
4x1 + 3x2-1x3 + 1x4 + 0x5 = 10
0x1-2x2 + 5x3 + 0x4-1x5 = 3
1x1 + 0x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 = 9
F(X) = — x1 — 2x2 + 2x3
Переход к СЗЛП.
Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:

4 3 -1 1 0 10
0 -2 5 0 -1 3
1 0 2 0 0 9

Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
1. В качестве базовой переменной можно выбрать x4.
2. В качестве базовой переменной выбираем x2.
Разрешающий элемент РЭ=-2. Строка, соответствующая переменной x2, получена в результате деления всех элементов строки x2 на разрешающий элемент РЭ=-2. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x2 записываем нули. Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

4-(0 • 3):-2 3-(-2 • 3):-2 -1-(5 • 3):-2 1-(0 • 3):-2 0-(-1 • 3):-2 10-(3 • 3):-2
0 : -2 -2 : -2 5 : -2 0 : -2 -1 : -2 3 : -2
1-(0 • 0):-2 0-(-2 • 0):-2 2-(5 • 0):-2 0-(0 • 0):-2 0-(-1 • 0):-2 9-(3 • 0):-2

Получаем новую матрицу:

4 0 6 1 /2 1 -1 1 /2 14 1 /2
0 1 -2 1 /2 0 1 /2 -1 1 /2
1 0 2 0 0 9

3. В качестве базовой переменной выбираем x3.
Разрешающий элемент РЭ=2. Строка, соответствующая переменной x3, получена в результате деления всех элементов строки x3 на разрешающий элемент РЭ=2. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x3 записываем нули. Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

4-(1 • 6 1 /2):2 0-(0 • 6 1 /2):2 6 1 /2-(2 • 6 1 /2):2 1-(0 • 6 1 /2):2 -1 1 /2-(0 • 6 1 /2):2 14 1 /2-(9 • 6 1 /2):2
0-(1 • -2 1 /2):2 1-(0 • -2 1 /2):2 -2 1 /2-(2 • -2 1 /2):2 0-(0 • -2 1 /2):2 1 /2-(0 • -2 1 /2):2 -1 1 /2-(9 • -2 1 /2):2
1 : 2 0 : 2 2 : 2 0 : 2 0 : 2 9 : 2

Получаем новую матрицу:

3 /4 0 0 1 -1 1 /2 -14 3 /4
1 1 /4 1 0 0 1 /2 9 3 /4
1 /2 0 1 0 0 4 1 /2

Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (4,2,3).
Соответствующие уравнения имеют вид:
3 /4x1 + x4 — 1 1 /2x5 = -14 3 /4
1 1 /4x1 + x2 + 1 /2x5 = 9 3 /4
1 /2x1 + x3 = 4 1 /2
Выразим базисные переменные через остальные:
x4 = — 3 /4x1 + 1 1 /2x5-14 3 /4
x2 = — 1 1 /4x1 — 1 /2x5+9 3 /4
x3 = — 1 /2x1+4 1 /2
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = — x1 — 2(- 1 1 /4x1 — 1 /2x5+9 3 /4) + 2(- 1 /2x1+4 1 /2)
или
F(X) = 1 /2x1 + x5-10 1 /2 → max
Система неравенств:
— 3 /4x1 + 1 1 /2x5-14 3 /4 ≥ 0
— 1 1 /4x1 — 1 /2x5+9 3 /4 ≥ 0
— 1 /2x1+4 1 /2 ≥ 0
Приводим систему неравенств к следующему виду:
3 /4x1 — 1 1 /2x5 ≤ -14 3 /4
1 1 /4x1 + 1 /2x5 ≤ 9 3 /4
1 /2x1 ≤ 4 1 /2
F(X) = 1 /2x1 + x5-10 1 /2 → max
Упростим систему.
3 /4x1 — 1 1 /2x2 ≤ -14 3 /4
1 1 /4x1 + 1 /2x2 ≤ 9 3 /4
1 /2x1 ≤ 4 1 /2
F(X) = 1 /2x1 + x2-10 1 /2 → max

Источник

Решение задач линейного программирования
симплексным методом

Если вы уже разобрались с графическим методом решения задач линейного программирования, самое время переходить к симплекс-методу. В отличие от первого, он практически не имеет ограничений на задачу (любое количество переменных, разные знаки и т.п.) и модифицируется в зависимости от типа задачи (например, М-метод или метод искусственного базиса).

При решении задачи симплекс методом вычисления обычно ведутся (для компактности и наглядности) в таблицах (табличный симплекс-метод), причем последняя таблица с оптимальным решением содержит важную дополнительную информацию: решение двойственной задачи, остатки ресурсов, сведения о дефицитных ресурсах и т.п., которая позволяет провести экономический анализ задачи линейного программирования (см. ниже пример 3).

Примеры решений задач симплекс-методом выложены бесплатно для вашего удобства — изучайте, ищите похожие, решайте. Если вам нужна помощь в выполнении подобных заданий, перейдите в раздел: решение линейного программирования на заказ.

Решение задач симплекс-методом: примеры онлайн

Задача 1. Компания производит полки для ванных комнат двух размеров — А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В — 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин машинного времени, а для изготовления одной полки типа В — 30 мин; машину можно использовать 160 час в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 денежных единицы, а от полок типа В — 4 ден. ед., то сколько полок каждого типа следует выпускать в неделю?

Задача 2. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.

Задача 3. Предприятие производит 3 вида продукции: А1, А2, А3, используя сырьё двух типов. Известны затраты сырья каждого типа на единицу продукции, запасы сырья на планируемый период, а также прибыль от единицы продукции каждого вида.

  1. Сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получить максимум прибыли?
  2. Определить статус каждого вида сырья и его удельную ценность.
  3. Определить максимальный интервал изменения запасов каждого вида сырья, в пределах которого структура оптимального плана, т.е. номенклатура выпуска, не изменится.
  4. Определить количество выпускаемой продукции и прибыль от выпуска при увеличении запаса одного из дефицитных видов сырья до максимально возможной (в пределах данной номенклатуры выпуска) величины.
  5. Определить интервалы изменения прибыли от единицы продукции каждого вида, при которых полученный оптимальный план не изменится.

Задача 6. Решить задачу симплекс-методом, рассматривая в качестве начального опорного плана, план, приведенный в условии:

Задача 7. Решить задачу модифицированным симплекс-методом.
Для производства двух видов изделий А и Б используется три типа технологического оборудования. На производство единицы изделия А оборудование первого типа используется а1=4 часов, оборудование второго типа а2=8 часов, а оборудование третьего типа а3=9 часов. На производство единицы изделия Б оборудование первого типа используется б1=7 часов, оборудование второго типа б2=3 часов, а оборудование третьего типа б3=5 часов.
На изготовление этих изделий оборудование первого типа может работать не более чем t1=49 часов, оборудование второго типа не более чем t2=51 часов, оборудование третьего типа не более чем t3=45 часов.
Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет АЛЬФА=6 рублей, а изделия Б – БЕТТА=5 рублей.
Составить план производства изделий А и Б, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

Источник

Оцените статью