Решите геометрическим методом задачу линейного программирования

Графический метод решения ЗЛП

В линейном программировании используется графический метод, с помощью которого определяют выпуклые множества (многогранник решений). Если основная задача линейного программирования имеет оптимальный план, то целевая функция принимает значение в одной из вершин многогранника решений (см. рисунок).

Инструкция . Выберите количество строк (количество ограничений). Если количество переменных больше двух, необходимо систему привести к СЗЛП (см. пример и пример №2). Если ограничение двойное, например, 1 ≤ x₁ ≤ 4 , то оно разбивается на два: x₁ ≥ 1 , x₁ ≤ 4 (т.е. количество строк увеличивается на 1).
Построить область допустимого решения (ОДР) можно также с помощью этого сервиса.

Решение матричной игры
С помощью сервиса в онлайн режиме можно определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии методами: минимакс, симплекс-метод, графический (геометрический) метод, методом Брауна.

1. На плоскости X₁0X₂ строят прямые.
2. Определяются полуплоскости.
3. Определяют многоугольник решений;
4. Строят вектор N(c₁,c₂), который указывает направление целевой функции;
5. Передвигают прямую целевую функцию c₁x₂ + c₂x₂ = 0 в направлении вектора N до крайней точки многоугольника решений.
6. Вычисляют координаты точки и значение целевой функции в этой точке.

Целевая функция принимает экстремальное (минимальное или максимальное) значение в единственной точке А.

1. Сформулировать математическую модель задачи линейного программирования.
2. Решить задачу линейного программирования графическим способом (для двух переменных).

Если количество переменных в задаче линейного программирования больше двух, то задачу предварительно сводят к стандартной ЗЛП.
F(X) = 3x₁ — 2x₂ + 5x₃ — 4x₅ → max при ограничениях:
x₁ + x₂ + x₃=12
2x₁ — x₂ + x₄=8
— 2x₁ + 2x₂ + x₅=10
F(X) = 3x₁ — 2x₂ + 5x₃ — 4x₅
Переход к СЗЛП.
Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:

1	1	1	0	0	12
2	-1	0	1	0	8
-2	2	0	0	1	10

Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
1. В качестве базовой переменной можно выбрать x₃.
2. В качестве базовой переменной можно выбрать x₄.
3. В качестве базовой переменной можно выбрать x₅.
Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (3,4,5).
Соответствующие уравнения имеют вид:
x₁ + x₂ + x₃ = 12
2x₁ — x₂ + x₄ = 8
— 2x₁ + 2x₂ + x₅ = 10
Выразим базисные переменные через остальные:
x₃ = — x₁ — x₂+12
x₄ = — 2x₁ + x₂+8
x₅ = 2x₁ — 2x₂+10
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = 3x₁ — 2x₂ + 5(- x₁ — x₂+12) — 4(2x₁ — 2x₂+10)
или
F(X) = — 10x₁ + x₂+20 → max
Система неравенств:
— x₁ — x₂+12 ≥ 0
— 2x₁ + x₂+8 ≥ 0
2x₁ — 2x₂+10 ≥ 0
Приводим систему неравенств к следующему виду:
x₁ + x₂ ≤ 12
2x₁ — x₂ ≤ 8
— 2x₁ + 2x₂ ≤ 10
F(X) = — 10x₁ + x₂+20 → max

Особенности решения задач линейного программирования графическим методом

Переменную x₂ принимаем в качестве дополнительной переменной и делаем замену на знак «≥»:
f=x₁ + 6x₃+ 27
x₁ + 3x₃≥6

Далее задача решается графическом способом.

Пример №2
F(X) = 3x₁ — 2x₂ + 5x₃ — 4x₅ → max при ограничениях:
x₁ + x₂ + x₃=12
2x₁ — x₂ + x₄=8
— 2x₁ + 2x₂ + x₅=10
F(X) = 3x₁ — 2x₂ + 5x₃ — 4x₅
Переход к СЗЛП.
Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:

1	1	1	0	0	12
2	-1	0	1	0	8
-2	2	0	0	1	10

Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
1. В качестве базовой переменной можно выбрать x₃.
2. В качестве базовой переменной можно выбрать x₄.
3. В качестве базовой переменной можно выбрать x₅.
Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (3,4,5).
Соответствующие уравнения имеют вид:
x₁ + x₂ + x₃ = 12
2x₁ — x₂ + x₄ = 8
— 2x₁ + 2x₂ + x₅ = 10
Выразим базисные переменные через остальные:
x₃ = — x₁ — x₂+12
x₄ = — 2x₁ + x₂+8
x₅ = 2x₁ — 2x₂+10
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = 3x₁ — 2x₂ + 5(- x₁ — x₂+12) — 4(2x₁ — 2x₂+10)
или
F(X) = — 10x₁ + x₂+20 → max
Система неравенств:
— x₁ — x₂+12 ≥ 0
— 2x₁ + x₂+8 ≥ 0
2x₁ — 2x₂+10 ≥ 0
Приводим систему неравенств к следующему виду:
x₁ + x₂ ≤ 12
2x₁ — x₂ ≤ 8
— 2x₁ + 2x₂ ≤ 10
F(X) = — 10x₁ + x₂+20 → max

• Составить систему математических зависимостей (неравенств) и целевую функцию.
• Изобразить геометрическую интерпретацию задачи.
• Найти оптимальное решение.
• Провести аналитическую проверку.
• Определить существенные и несущественные ресурсы и их избытки.
• Определить значение целевой функции.
• Вычислить объективно обусловленные оценки.
• Составить соотношение устойчивости.

Источник

Решение задач линейного программирования
графическим методом

Существуют два наиболее распространенных способа решения задач линейного программирования (ЗЛП): графический метод и симплекс-метод. Графический метод существенно нагляднее и обычно проще для понимания и решения (хотя занимает много времени, так как требует тщательного построения чертежа). Также этот метод позволяет практически одновременно найти решение на минимум и максимум, тогда как симплекс-методом придется делать «два подхода».

Основные шаги по решению ЗПЛ графическим методом следующие: построить область допустимых решений задачи (выпуклый многоугольник), который определяется как пересечение полуплоскостей, соответствующих неравенствам задачи, построить линию уровня целевой функции, и, наконец, двигать линию уровня в нужном направлении, пока не достигнем крайней точки области — оптимальной точки (или множества). При этом можно найти единственное оптимальное решение (точку), множество (отрезок) или ни одного (область пустая или не ограниченная в нужном направлении).

А за конкретикой — к примерам ниже: вы найдете там решенные графическим способом задачи линейного программирования. Примеры решений выложены бесплатно для вашего удобства — изучайте, ищите похожие, решайте. Если вам нужна помощь в выполнении заданий по методам оптимальных решений, перейдите в раздел: Решение задач ЛП на заказ (решаем для студентов очников и заочников).

Графический метод решения ЗЛП: примеры онлайн

Задача 1. Колхоз имеет возможность приобрести не более 19 трехтонных автомашин и не более 17 пятитонных. Отпускная цена трехтонного грузовика — 4000 руб., пятитонного — 5000 руб. Колхоз может выделить для приобретения автомашин 141 тысяч рублей. Сколько нужно приобрести автомашин, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной?
Задачу решить графическими и аналитическими методами.

Задача 2. Решить задачу графическим методом на минимум и на максимум

Задача 3. Решить задачу графическим методом на минимум и на максимум

Задача 4. Среди чисел x и y, удовлетворяющих условиям

найти такие, при которых разность этих чисел y-x принимает наибольшее значение.

Задача 5. Решить графическим методом ЗЛП, заданную указанной математической моделью.

Задача 6. Решите графически следующие задачи линейного программирования

Задача 7. Решить графическим методом

Источник

Решения X*

Во втором случае ЗЛП заведомо разрешима и имеет либо единственное решение (рис.1), совпадающее с одной из вершин допустимого многогранника X, либо бесконечное множество решений (рис.3) – ребро или грань многогранника, параллельные плоскостям семейства (3). Рис.3 Пример ЗЛП, имеющий бесконечное множество решений (ребро АВ многогранника допустимых решений ABCDE) Если допустимое множество решений ЗЛП неограниченно, ответ на вопрос о существовании ее решения для задачи максимизации зависит от того, ограничена сверху на этом множестве целевая функция zили нет. Если ограничена, задача разрешима, причем возможны те же ситуации, что и во втором из рассмотренных выше случаев. Если нет – решение отсутствует (рис.4). Для задачи минимизации, в случае неограниченного множества допустимых решенийX, ответ на вопрос о существовании решения ЗЛП Рис.4 Пример ЗЛП, имеющей неограниченное множество допустимых решений. зависит от того, ограничена снизу на множестве Xцелевая функцияzили нет. Возникающие ситуации те же что и у задач максимизации.

1. Геометрическое решение ЗЛП в стандартной форме.

Если задача линейного программирования в стандартной форме содержит всего лишь две переменные x₁ и x₂ (т.е. n=2), то ее можно решить следующим способом, основанным на ее геометрической интерпретации. Каждое неравенство системы ограничений и условие неотрицательности представляют собой полуплоскость. Пересечение полуплоскостей образует выпуклое многоугольное множество (многогранник допустимых решений). Целевая функция графически изображается множеством параллельных прямых, называемых линиями уровня, каждой из которых соответствует конкретное значение z. Для решения задачи линия уровня сдвигается в пределах области допустимых решений (многогранника допустимых решений) в направлении вектора-градиента grad z=f(x) = до самой крайней точки области для задачи максимизации , и в направлении антиградиента

• grad z=для задачи минимизации. Координаты этой

точки и определяют решение ЗЛП (оптимальный план задачи).

Пример 1 Решить геометрическим способом злп:

Z = 6x₁+2x₂  max 4x₁+5x₂  61 (a) -3x₁+4x₂  24 (б) 5x₁-3x₂  30 (в) x₁ 0, x₂ 0

Решение

Построим область допустимых решений ЗЛП, представляющую собой множество точек, удовлетворяющих ограничениям задачи. Область допустимых решений – ограниченный многоугольник, выделенный внешней (б) (в) Рис.5 Пример геометрического решения ЗЛП в стандартной форме при n=2. штриховкой. Вектор-градиент целевой функции grad z=c= определяет направление ее возрастания. Из рисунка видно, что целевая функция z принимает максимальное значение в точке пересечения прямых, задаваемых неравенствами (а) и (б): 4x₁+5x₂ = 61 5x₁-3x₂ = 30 Решив эту системы уравнений, получим x₁ * =9, x₂ * =5. Максимальное значение функции z_max=64. Пример 2 Решить геометрическим способом ЗЛП: Z = 8x₁+10x₂  max x₁+2x₂  220 (a) 2x₁+x₂  260 (б) 4x₁+5x₂  640 (в) x₁ 0, x₂ 0 Решение Построим область допустимых решений задачи. (б) (в) Р ис.6 Пример геометрического решения ЗЛП. Эта область предоставляет собой выпуклый многоугольник ОМ₁М₂М₃М₄. Определим координаты вершин многоугольника, как точки пересечения соответствующих прямых. Координаты вершины М₁ из решения системы x₁+2x₂=220 x₁=0 Решив эту систему, получим М₁=. Координаты вершины М₂= получим из системы x₁+2x₂=220 4x₁+5x₂=640 Координаты вершины М₃= получим из системы 2x₁+x₂=260 4x₁+5x₂=640 Координаты вершины М₄= получим из системы 2x₁+x₂=260 x₂=0 Из геометрической интерпретации ЗЛП видно, что, если задача имеет решение, то оно достигается в одной из вершин многоугольника допустимых решений. Поэтому для того, чтобы найти решение достаточно перебрать все вершины многоугольника допустимых решений. Вычислим значения целевой функции во всех вершинах этого многоугольника: z₀ = f(M₀) = 0, z₁ = f(M₁) = 1100, z₂ = f(M₂) = 1280, z₃ = f(M₃) = 1280, z₄ = f(M₄) = 1040. Отсюда видно, что целевая функция z достигает максимального значения в двух вершинах М₂ и М₃ , т.е. в своем крайнем положении линия уровня z = 8x₁+10x₂=const=1280 содержит вершины М₂, М₃ и, следовательно, все ребро (М₂ , М₃). Таким образом, решений бесконечно много – все точки ребра (М₂ , М₃). При этом максимальное значение целевой функции z равно 1280. Пример 3 Решить геометрическим способом ЗЛП z=x₁+x₂  max x₁+x₂  -1 (a) x₁  0, x₂  0

Источник