Двойственный симплексный метод
Двойственный симплексный метод основан на теории двойственности (см. решение двойственной задачи) и используется для решения задач линейного программирования, свободные члены которых bi могут принимать любые значения, а система ограничений задана неравенствами смысла «≤», «≥» или равенством «=».
Инструкция для решения задач двойственным симплекс-методом. Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений), нажмите Далее . Полученное решение сохраняется в файле Word . При этом ограничения типа xi≥0 не учитывайте.
Решение матричной игры
С помощью сервиса в онлайн режиме можно определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии методами: минимакс, симплекс-метод, графический (геометрический) метод, методом Брауна.
Экстремум функции двух переменных
Задачи динамического программирования
Распределить 5 однородных партий товара между тремя рынками так, чтобы получить максимальный доход от их продажи. Доход от продажи на каждом рынке G(X) зависит от количества реализованных партий товара Х и представлен в таблице.
| Объем товара Х (в партиях) | Доход G(X) | ||
| 1 | 2 | 3 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 28 | 30 | 32 |
| 2 | 41 | 42 | 45 |
| 3 | 50 | 55 | 48 |
| 4 | 62 | 64 | 60 |
| 5 | 76 | 76 | 72 |
- Составление псевдоплана. Систему ограничений исходной задачи приводят к системе неравенств смысла «≤».
- Проверка плана на оптимальность. Если в полученном опорном плане не выполняется условие оптимальности, то задача решается симплексным методом.
- Выбор ведущих строки и столбца. Среди отрицательных значений базисных переменных выбираются наибольшие по абсолютной величине. Строка, соответствующая этому значению, является ведущей.
- Расчет нового опорного плана. Новый план получается в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса. Далее переход к этапу 2.
Алгоритм двойственного симплекс-метода
Пример решения Р-методом
Условие задачи. Предприятию необходимо выпустить по плану продукции А1– 500 единиц, А2– 300 единиц, А3– 450 единиц. Каждый вид изделия может производиться на двух машинах.
Как распределить работу машин, чтобы общие затраты времени на выполнение плана были минимальны? Дана матрица затрат и ресурс времени каждой машины. Записать модель исследуемой операции в форме, допускающей использование P – метода.
| Матрица затрат времени на производство видов продукции g – го вида A=(aig) | ||||
| Машины | Виды продукции | Ресурс времени машин | ||
| А1 | А2 | А3 | ||
| 1 | 2 | 3 | 3 | 1500 |
| 2 | 5 | 4 | 1 | 1000 |
| План выпуска продукции | 500 | 300 | 450 | |
Составим математическую модель задачи.
2x11+ 3x12+3x13≤ 1500
5x21+ 4x22+x23≤ 1000
x11+ x21≥ 500
x12+ x22≥ 300
x13+ x23≥ 450
Целевая функция:
2x11+ 3x12+3x13+ 5x21+ 4x22+x23→ min
Запишем в виде, решаемом Р-методом.
2x11+ 3x12+3x13≤ 1500
5x21+ 4x22+x23≤ 1000
-x11 -x21≤ -500
-x12-x22≤ -300
-x13-x23≤ -450
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 2x1+3x2+3x3+5x4+4x5+x6при следующих условиях-ограничений.
2x1+3x2+3x3≤1500
5x4+4x5+x6≤1000
-x1-x4≤-500
-x2-x5≤-300
-x3-x6≤-450
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
2x1+ 3x2+ 3x3+ 0x4+ 0x5+ 0x6+ 1x7+ 0x8+ 0x9+ 0x10+ 0x11= 1500
0x1+ 0x2+ 0x3+ 5x4+ 4x5+ 1x6+ 0x7+ 1x8+ 0x9+ 0x10+ 0x11= 1000
-1x1+ 0x2+ 0x3-1x4+ 0x5+ 0x6+ 0x7+ 0x8+ 1x9+ 0x10+ 0x11= -500
0x1-1x2+ 0x3+ 0x4-1x5+ 0x6+ 0x7+ 0x8+ 0x9+ 1x10+ 0x11= -300
0x1+ 0x2-1x3+ 0x4+ 0x5-1x6+ 0x7+ 0x8+ 0x9+ 0x10+ 1x11= -450
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
| 2 | 3 | 3 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 5 | 4 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| -1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x7, x8, x9, x10, x11,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,0,0,0,1500,1000,-500,-300,-450)
| План | Базис | В | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 | x11 |
| 0 | x7 | 1500 | 2 | 3 | 3 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| x8 | 1000 | 0 | 0 | 0 | 5 | 4 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| x9 | -500 | -1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| x10 | -300 | 0 | -1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| x11 | -450 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| Индексная строка | F(X0) | 0 | -2 | -3 | -3 | -5 | -4 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| θ | 2 | 5 |
Посмотреть все итерации Оптимальный план можно записать так: x5 = 133.33, x8 = 16.67, x1 = 500, x2 = 166.67, x6 = 450
F(X) = 2*500 + 3*166.67 + 4*133.33 + 1*450 = 2483.33 Пример №1 . Предприятию необходимо выпустить по плану продукции, не менее, чем: А 1 — 500 единиц, А2 – 300 единиц, А 3 – 450 единиц. Каждый вид изделия может производиться на двух машинах. Как распределить работу машин, чтобы общие затраты времени на выполнение плана были минимальными, если задана матрица затрат. Ресурс времени каждой машины приведен справа от таблицы. Записать модель исследуемой операции в форме, допускающей использование Р-метода. Решить задачу Р-методом. Пример №2 . Из 4 видов кормов необходимо составить рацион, в состав которого должно входить не менее в1 ед. вещества А, в 2 ед. вещества В и в 3 ед. вещества С. Количество единиц вещества, содержащегося в 1 кг корма каждого вида, указано в соответствующей таблице. В ней же приведена цена 1 кг корма каждого вида.
Составить рацион, содержащий не менее нужного количества указанных питательных веществ и имеющий минимальную стоимость.
Пример решения прямой и двойственной задачи симплекс методом
Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b1 = 240, b2 = 200, b3 = 160 единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве a11 = 2 единицы, ресурса второго вида в количестве a21 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a31 = 4 единицы. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве a12 = 3, a13 = 6 единицы, ресурса второго вида в количестве a22 = 2, a23 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a32 = 6, a33 = 8 единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно c1 = 4, c2 = 5, c3 = 4 (тыс. руб.). Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.
К прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплекс методом, составить двойственную задачу линейного программирования.
Установить сопряженные пары переменных прямой и двойственной задачи.
Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи, в которой производится оценка ресурсов, затраченных на продажу товаров.
Решение задачи симплекс методом
Пусть x1, x2, x3 — количество реализованных товаров, в тыс. руб., 1, 2, 3 — ей групп, соответственно. Тогда математическая модель задачи имеет вид.
Решаем симплекс методом.
Вводим дополнительные переменные x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.
В качестве базиса возьмем x4 = 240; x5 = 200; x6 = 160.
Данные заносим в симплекс таблицу
Симплекс таблица № 1
