Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Rukovodstvo

статьи и идеи для разработчиков программного обеспечения и веб-разработчиков.

Решение систем линейных уравнений с помощью Python Numpy

Библиотеку Numpy [https://numpy.org/] можно использовать для выполнения множества математических / научных операций, таких как матричное скрещивание и скалярное произведение, поиск значений синуса и косинуса, преобразование Фурье [https: //en.wikipedia. org / wiki / Fourier_transform] и манипулирование формами и т. д. Слово Numpy — это сокращенное обозначение «Числового Python». В этой статье вы увидите, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Python Numpy. Что такое система линейных уравнений? Википедия определяет

Библиотеку Numpy можно использовать для выполнения множества математических / научных операций, таких как матричное скрещивание и скалярное произведение, поиск значений синуса и косинуса, преобразование Фурье и манипуляции с формой и т. Д. Слово Numpy — это сокращенное обозначение для «Числового Python» .

В этой статье вы увидите, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Python Numpy.

Что такое система линейных уравнений?

В математике система линейных уравнений (или линейная система) — это набор двух или более линейных уравнений, включающих один и тот же набор переменных.

Конечная цель решения системы линейных уравнений — найти значения неизвестных переменных. Вот пример системы линейных уравнений с двумя неизвестными переменными x и y :

Уравнение 1:

Чтобы решить указанную выше систему линейных уравнений, нам нужно найти значения переменных x и y Есть несколько способов решить такую систему, например, исключение переменных, правило Крамера, метод сокращения строк и матричное решение. В этой статье мы рассмотрим матричное решение.

В матричном решении решаемая система линейных уравнений представляется в виде матрицы AX = B Например, мы можем представить уравнение 1 в виде матрицы следующим образом:

 A = [[ 4 3] [-5 9]] X = [[x] [y]] B = [[20] [26]] 

Чтобы найти значения переменных x и y в уравнении 1 , нам нужно найти значения в матрице X Для этого мы можем взять скалярное произведение обратной матрицы A и матрицы B как показано ниже:

Если вы не знакомы с тем, как найти обратную матрицу, взгляните на эту ссылку, чтобы понять, как вручную найти обратную матрицу. Чтобы понять матричное скалярное произведение, ознакомьтесь сэтой статьей .

Решение системы линейных уравнений с помощью Numpy

Из предыдущего раздела мы знаем, что для решения системы линейных уравнений нам необходимо выполнить две операции: обращение матрицы и скалярное произведение матрицы. Библиотека Numpy от Python поддерживает обе операции. Если вы еще не установили библиотеку Numpy, вы можете сделать это с помощью следующей команды pip

Давайте теперь посмотрим, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Numpy.

Использование методов inv () и dot ()

Сначала мы найдем матрицу, обратную матрице A которую мы определили в предыдущем разделе.

Давайте сначала создадим матрицу A на Python. Чтобы создать матрицу, то array может быть использован метод модуля Numpy. Матрицу можно рассматривать как список списков, где каждый список представляет собой строку.

В следующем скрипте мы создаем список с именем m_list , который дополнительно содержит два списка: [4,3] и [-5,9] . Эти списки представляют собой две строки в матрице A Чтобы создать матрицу A с помощью Numpy, m_list передается array как показано ниже:

 import numpy as np m_list = [[4, 3], [-5, 9]] A = np.array(m_list) 

Чтобы найти обратную матрицу, матрица передается linalg.inv() модуля Numpy:

 inv_A = np.linalg.inv(A) print(inv_A) 

Следующий шаг — найти скалярное произведение между обратной матрицей A и матрицей B Важно отметить, что скалярное произведение матриц возможно только между матрицами, если внутренние размеры матриц равны, т.е. количество столбцов левой матрицы должно соответствовать количеству строк в правой матрице.

Чтобы найти точечный продукт с помощью библиотеки Numpy, используется linalg.dot() . Следующий скрипт находит скалярное произведение между обратной матрицей A и матрицей B , которая является решением уравнения 1 .

 B = np.array([20, 26]) X = np.linalg.inv(A).dot(B) print(X) 

Здесь 2 и 4 — соответствующие значения для неизвестных x и y в уравнении 1 . Для проверки, если вы подставите 2 вместо неизвестного x и 4 вместо неизвестного y в уравнении 4x + 3y , вы увидите, что результатом будет 20.

Давайте теперь решим систему трех линейных уравнений, как показано ниже:

 4x + 3y + 2z = 25 -2x + 2y + 3z = -10 3x -5y + 2z = -4 

Вышеупомянутое уравнение можно решить с помощью библиотеки Numpy следующим образом:

Уравнение 2:

 A = np.array([[4, 3, 2], [-2, 2, 3], [3, -5, 2]]) B = np.array([25, -10, -4]) X = np.linalg.inv(A).dot(B) print(X) 

В приведенном выше сценарии linalg.inv() и linalg.dot() связаны вместе. Переменная X содержит решение уравнения 2 и печатается следующим образом:

Значения неизвестных x , y и z равны 5, 3 и -2 соответственно. Вы можете подставить эти значения в уравнение 2 и проверить их правильность.

Использование метода resolve ()

В двух предыдущих примерах мы использовали linalg.inv() и linalg.dot() для поиска решения системы уравнений. Однако библиотека Numpy содержит метод linalg.solve() , который можно использовать для непосредственного поиска решения системы линейных уравнений:

 A = np.array([[4, 3, 2], [-2, 2, 3], [3, -5, 2]]) B = np.array([25, -10, -4]) X2 = np.linalg.solve(A,B) print(X2) 

Вы можете видеть, что результат такой же, как и раньше.

Пример из реального мира

Давайте посмотрим, как систему линейных уравнений можно использовать для решения реальных задач.

Предположим, продавец фруктов продал 20 манго и 10 апельсинов за один день на общую сумму 350 долларов. На следующий день он продал 17 манго и 22 апельсина за 500 долларов. Если цены на фрукты оставались неизменными в оба дня, какова была цена одного манго и одного апельсина?

Эту задачу легко решить с помощью системы двух линейных уравнений.

Допустим, цена одного манго равна x а цена апельсина — y . Вышеупомянутую проблему можно преобразовать следующим образом:

 20x + 10y = 350 17x + 22y = 500 

Решение для указанной выше системы уравнений показано здесь:

 A = np.array([[20, 10], [17, 22]]) B = np.array([350, 500]) X = np.linalg.solve(A,B) print(X) 

Выходные данные показывают, что цена одного манго составляет 10 долларов, а цена одного апельсина — 15 долларов.

Заключение

В статье объясняется, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Python Numpy. Вы можете использовать либо linalg.inv() и linalg.dot() методу в цепи , чтобы решить систему линейных уравнений, или вы можете просто использовать solve() метод. Предпочтительным способом является метод solve()

Licensed under CC BY-NC-SA 4.0

Источник

Решение систем линейных уравнений методом крамера python

Всем привет. Пытаюсь реализовать процесс решения систем линионного уравнения методом Крамера в среде Python. Исходя из того, что выбранная среда не очень знакома мне, процесс продвигается не очень. Возможно, кто-то решал подобную задачу, прошу помочь.

Простой запрос к поисковику и вот вариант:
https://xn--80ahcjeib4ac4d.xn--p1ai/. ons_in_python/
Тут описывается решение СЛАУ матричным методом с использованием NumPy.

А тут описан метод получения дискриминантов с использованием метода numpy.linalg.det().
Если правильно составили матрицы, то, получив дискриминанты, решите систему методом Крамера:
https://numpy.org/doc/stable/referen. inalg.det.html

PS: В обоих случаях использована библиотека NumPy (готовые методы).
Вы сами хотите написать нечто подобное?

Спасибо, но это не совсем то, что нужно.
В лабораторной работе требуется реализация без обычных библиотек.
Так вот, я нашел блок-схему для программной реализации метода Крамера (https://www.mathros.net.ua/rozvjazok. m-kramera.html – содержится в нижней части статьи), и ее пытаюсь реализовать.

Хорошо. Тогда определите, сколько уравнений у вас задано.
Для 2-х, 3-х и даже 4-x можно выписать дискриминанты в лоб, но если их число не определено,
то вам необходимо написать функции, которые умеют вычислять миноры и дискриминанты.
Определитесь с форматом данных. Например, уравнение — это список коэффициентов: [1, 2, 3, 7], а система уравнений — это вложенный список: [[. ], [. ], [. ], [. ]].
Возможно вы пожелаете другую форму использовать.
Далее пишите функцию, которая удаляет заданную строку и столбец — получаем минор первого уровня. Затем пишите функцию, которая вычисляет дискриминант, проходя по всем элементам (рекурсия вам в руки, до получения миноров 2*2) и т.д.
Такую ссылку тоже можно найти (мне попадалась на Cи).

PS: Подозреваю, что можно найти код и самой библиотеки и покопаться там. Но это ой .

# рекурсивный код Python для нахождения определителя матрицы. def getMatrixMinor(m,i,j): return [row[:j] + row[j+1:] for row in (m[:i]+m[i+1:])] def getMatrixDeternminant(m): #base case for 2x2 matrix if len(m) == 2: return m[0][0]*m[1][1]-m[0][1]*m[1][0] determinant = 0 for c in range(len(m)): determinant += ((-1)**c)*m[0][c]*getMatrixDeternminant(getMatrixMinor(m,0,c)) return determinant

m = [[a00, a01, a02, . a0n-1 ], [a10, a11, a12, . a1n-1 ], [. ], [an-10, an-11, an-12, . an-1n-1]]

M = [[4,1,1,2,1], [1,2,-1,1,1], [3,1,1,1,1], [2,1,1,4,1], [2,-1,1,1,5]] print(getMatrixDeternminant(M))

Думаю, что этого достаточно для реализации метода Крамера. Надо только добавить функцию, которая сформирует набор матриц: замена столбца.

Источник

Метод Крамера

Решение СЛАУ методом Крамера
Всем привет, Задание решить СЛАУ методом Крамера A=. ] B= determ=np.linalg.det(A) for j in.

СЛАУ. Метод обратной матрицы, метод Гаусса, метод Крамера, метод Зейделя
Помогите ребят. Не могу построить алгоритмы для этих методов Язык C++

Метод Крамера или метод Гаусса. Реализация
Доброго времени суток. Стоит задача написать метод Гаусса или метод Крамера для решения СЛАУ на.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

import numpy as np a1=[[15, 25, 35],[9, 8, 7],[18, 12, 10]] b1=[12,13,14] def Kram(A,B): m = len(A) op = np.linalg.det(A) print(op) r = list() for i in range(m): VM=np.copy(A) VM[:,i]=B r.append(np.linalg.det(VM)/op) return r X3 = Kram(a1,b1) print(X3) print(np.matmul(A,X3)) # то была не единственная ошибка # NameError: name 'A' is not defined

Метод Гаусса или метод Крамера. Реализация
Доброго времени суток. Стоит задача написать метод Гаусса или метод Крамера для решения СЛАУ на F#.

Метод Крамера
Добрый день. Подскажите, пожалуйста, кто-нибудь. Мне нужна матрица 4×4, но код, который указан.

Метод крамера.
ребят весь инет обыскал подскажите нормальный исходник для паскаля на крамера. нигдене нашел.

Метод Крамера
Помогите составить программу для решения методом Крамера СЛАУ 2×2 с произвольными целыми.

Метод крамера
Нашёл на этом форуме программу по решению СЛАУ методом крамера для матрицы любой размерности, но не.

Метод Крамера
Всем привет! Не могу найти ошибку, помогите. Вообщем решаю систему лин. уравнений с 4 — мя.

Источник

cramer 0.0.0

This is a library designed to solve systems of linear equations using the cramer solution method.

Навигация

Ссылки проекта

Статистика

Метаданные

Лицензия: MIT

Сопровождающие

Описание проекта

Cramer

A library designed to solve systems of linear equations using the cramer solution method.

In order to function correctly, it is necessary to have a system with the same number of unknowns as equations.

Functions:

matr:

generates an n-dimensional matrix with the matrices from which the different coefficients will be extracted. The first matrix inside the array corresponds to the «original» delta

delta:

receives a matrix as input and returns a coefficient, calculated by subtracting the products obtained by the cross multiplication.

Example Code:

 #import numpy, cramer and creates a matrix with the factors to which each unknown number is multiplied and at the end of each row it adds the result of the linear equation import numpy as np from cramer import cramer b = [[2 , 4 , 9 , 2], [4 , 7 , 2 , 3], [9 , 5 , 3 , 1]] b = np.asarray(b) # create an instance of the cramer class cr = cramer(b) #gets an array with the matrices corresponding to each coefficient mds = cr.matr() # generate a list with the coefficients obtained in each matrix after using the matr() method deltas = [] for i in mds: deltas.append(cr.delta(i)) # to obtain the values ​​of each unknown, divide the different coefficients obtained by the first one, corresponding to that of the matrix of unknowns for i in range(1 , len(deltas)): print("Variable" , i , ":") print(deltas[i] / deltas[0]) 

Источник