Приведение задачи линейного программирования каноническому виду

Переход к канонической форме ЗЛП

Каноническая форма ЗЛП — задача линейного программирования вида ax = b , где a — матрица коэффициентов, b — вектор ограничений.

Инструкция . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений). Полученное решение сохраняется в файле Word .

Математическая модель ЗЛП называется основной, если ограничения в ней представлены в виде уравнений при условии неотрицательности переменных.

Математическая модель называется канонической, если ее система ограничений представлена в виде системы m линейно независимых уравнений (ранг системы r=m), в системе выделен единичный базис, определены свободные переменные и целевая функция выражена через свободные переменные. При этом правые части уравнений неотрицательны (b_i ≥ 0).

Переменные, входящие в одно из уравнений системы с коэффициентом один и отсутствующие в других уравнениях называются базисными неизвестными, а все другие – свободными.

Решение системы называется базисным, если в нем свободные переменные равны 0, и оно имеет вид:
X_баз = (0, 0; b₁, …, b_m), f(X_баз) = c₀

Базисное решение является угловой точкой множества решений системы, т.е. определяет вершину многоугольника решений модели. Среди таких решений находится и то, при котором целевая функция принимает оптимальное значение.

Базисное решение называется опорным, если оно допустимо, т.е. все правые части уравнений системы (или неравенств) положительны b_i ≥ 0.

Компактная форма канонической модели имеет вид:
AX = b
X ≥ 0
Z = CX(max)

Понятие допустимого решения, области допустимых решений, оптимального решения задачи линейного программирования.
Определение 1 . Вектор X, удовлетворяющий системе ограничений ЗЛП, в том числе и условиям неотрицательности, если они имеются, называется допустимым решением ЗЛП.
Определение 2 . Совокупность всех допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.
Определение 3 . Допустимое решение, для которого целевая функция достигает максимума (или минимума), называется оптимальным решением.

• эти значения удовлетворяли некоторой системе линейных уравнений или неравенств;
• при этих значениях целевая функция обращалась бы в минимум или максимум.

• неравенства, входящие в систему ограничений задачи, преобразовать в уравнения с помощью введения дополнительных переменных;
• если целевая функция F→max (максимизируется), она заменяется на функцию –F→ min (которая минимизируется).

Пример №1 . Следующую задачу ЛП привести к каноническому виду: F(X) = 5x₁ + 3x₂ → max при ограничениях:
2x₁ + 3x₂≤20
3x₁ + x₂≤15
4x₁≤16
3x₂≤12
Модель записана в стандартной форме. Введем балансовые неотрицательные переменные x₃, x₄, x₅, x₆, которые прибавим к левым частям ограничений-неравенств. В целевую функцию все дополнительные переменные введем с коэффициентами, равными нулю:
В первом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₃. Во 2-ом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₄. В третьем неравенстве вводим базисную переменную x₅. В 4-м неравенстве — базисную переменную x₆. Получим каноническую форму модели:
2x₁ + 3x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 20
3x₁ + 1x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 15
4x₁ + 0x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 16
0x₁ + 3x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ = 12
F(X) = 5x₁ + 3x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ → max Пример №2 . Найти два опорных решения системы
x₁ + 2x₄ – 2x₅ = 4
x₃ + 3x₄ + x₅ = 5
x₂ + 3x₅ = 2 Ответ: X = (4;2;5;0;0) Пример №3 . Привести к канонической форме следующую ЗЛП.
F = 2x₁ — x₂ + 4x₃ -2x₄ → min
при ограничениях:
7x₁ –x₂ +5x₃ + x₄ = -10
3x₁ +5x₂ -9x₃ + 2x₄ = 6
x₁ –x₂ -2x₃ + 6x₄ ≥ 7
x₁ +x₂ -5x₃ ≤ 11
7x₁ –x₂ -3x₃ — x₄ ≤ 9
x₁ ≥0 , x₂ ≥0 (обратите внимание, что переменные x₃ и x₄ имеют произвольный знак) Для приведения ЗЛП к канонической форме необходимо:
1. Поменять знак у целевой функции
— F = -2x₁ + x₂ — 4x₃ +2x₄ → max 2. В левые части трех последних неравенств внести дополнительные переменные x₅, x₆, x₇ со знаком плюс или минус в зависимости от знака неравенства.
7x₁ –x₂ +5x₃ + x₄ = -10
3x₁ +5x₂ -9x₃ + 2x₄ = 6
x₁ –x₂ -2x₃ + 6x₄ –x₅ = 7
x₁ +x₂ -5x₃ +x₆ = 11
7x₁ –x₂ -3x₃ — x₄ +x₇ = 9
x₁ ≥0 , x₂ ≥0, x₅ ≥0 , x₆ ≥0, x₇ ≥0 3. Так как переменные x₃ и x₄ произвольного знака, то они заменяются разностями неотрицательных переменных.
7x₁ –x₂ +5(x₈ – x₉) + (x₁₀ – x₁₁) = -10
3x₁ +5x₂ -9(x₈ – x₉) + 2(x₁₀ – x₁₁) = 6
x₁ –x₂ -2(x₈ – x₉) + 6(x₁₀ – x₁₁) –x₅ = 7
x₁ +x₂ -5(x₈ – x₉) +x₆ = 11
7x₁ –x₂ -3(x₈ – x₉) — (x₁₀ – x₁₁) +x₇ = 9
x₁ ≥0 , x₂ ≥0, x₅ ≥0 , x₆ ≥0, x₇ ≥0 , x₈ ≥0, x₉ ≥0 , x₁₀ ≥0, x₁₁ ≥0 4. Соответствующая целевая функция примет вид:
— F = -2x₁ + x₂ — 4(x₈ – x₉) +2(x₁₀ – x₁₁) → max см. также Как привести каноническую задачу линейного программирования к стандартной форме Пример №2 . Преобразовать следующие задачи ЛП к канонической форме и решить их симплекс-методом.

Источник

Приведение задачи линейного программирования к канонической форме

Задачи линейного программирования делятся на два вида: канонические (основные) и стандартные (симметричные).

Каноническая задача линейного программирования – это задача, в систему ограничений которой входят только линейные уравнения и условия неотрицательности выполняются для всех переменных, то есть

, , .

Стандартная задача линейного программирования – это задача, в систему ограничений которой входят только линейные неравенства со знаком (со знаком ), целевая функция стремится к максимуму (минимуму) и условия неотрицательности выполняются для всех переменных, то есть

Любую задачу линейного программирования можно привести к канонической форме по следующему правилу:

1) если знак неравенства , то балансовая переменная вводится со знаком плюс;

2) если знак неравенства , то балансовая переменная вводится со знаком минус;

3) в целевую функцию балансовые переменные не вводятся;

4) если на какую либо исходную переменную не наложено условие неотрицательности (например, на ), то ее можно представить в виде разности двух положительных переменных () и выполнить соответствующую замену в исходной задаче.

Пример 3. Привести к каноническому виду задачу линейного программирования

, , .

Решение. Первое уравнение системы ограничений оставим без изменения. Во второе неравенство системы ограничений введем балансовую переменную со знаком плюс , а во второе неравенство переменную со знаком минус . В целевую функцию эти переменные не вводятся. Так как на переменную не наложено условие неотрицательности, то заменим ее разностью двух положительных переменных . Выполним соответствующую замену в целевой функции.

Каноническая форма исходной задачи будет иметь вид:

, , .

Задания для решения в аудитории

1. Привести к каноническому виду задачу линейного программирования

, , .

Источник

Виды злп и способы перехода от одного вида к другому.

Одна и та же ЗЛП может быть сформулирована в различных эквивалентных формах. Наиболее важными формами задачи линейного программирования являются каноническая и стандартная.

В канонической форме задача является задачей на максимум (минимум) некоторой линейной функции F, ее система ограничений состоит только из равенств (уравнений). При этом переменные задачи х₁, х₂, . х_n являются неотрицательными:

К канонической форме можно преобразовать любую задачу линейного программирования.

Правило приведения ЗЛП к каноническому виду:

1. Если в исходной задаче некоторое ограничение (например, первое) было неравенством, то оно преобразуется в равенство, введением в левую часть некоторой неотрицательной переменной, при чем в неравенства «≤» вводится дополнительная неотрицательная переменная со знаком «+»; в случаи неравенства «≥» — со знаком «-»

Тогда неравенство (32.1) запишется в виде:

В каждое из неравенств вводится своя “уравнивающая” переменная, после чего система ограничений становится системой уравнений.

Число вводимых дополнительных неотрицательных переменных при преобразовании ограничений-неравенств в ограничения-равенства равно числу преобразуемых неравенств.

Вводимые дополнительные переменные имеют вполне определенный экономический смысл. Так, если в ограничениях исходной задачи линейного программирования отражаются расход и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной в плане задачи, записанной в основной форме, равно объему неиспользуемого соответствующего ресурса.

2. Если в исходной задаче некоторая переменная не подчинена условию неотрицательности, то ее заменяют (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью неотрицательных переменных

3. Если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на (-1)

4. Наконец, если исходная задача была задачей на минимум, то введением новой целевой функции F₁ = -F мы преобразуем нашу задачу на минимум функции F в задачу на максимум функции F₁.

Таким образом, всякую задачу линейного программирования можно сформулировать в канонической форме.

В стандартной форме задача линейного программирования является задачей на максимум (минимум) линейной целевой функции. Система ограничений ее состоит из одних линейных неравенств типа « = »). Все переменные задачи неотрицательны.

Всякую задачу линейного программирования можно сформулировать в стандартной форме. Приведение к стандартной форме необходимо, так как большинство методов решения задач линейного программирования разработано именно для стандартной формы.

Для приведения к стандартной форме задачи линейного программирования может потребоваться выполнить следующие действия:

— перейти от минимизации целевой функции к ее максимизации;

— изменить знаки правых частей ограничений;

— перейти от ограничений-равенств к неравенствам;

— избавиться от переменных, не имеющих ограничений на знак..

1. Привести к каноническому виду задачу

Введем дополнительные переменные x₃ , x₄ , x₅ . Причем в первое неравенство введем неотрицательную переменную x₃ со знаком минус, а во второе и в третье – со знаком плюс переменные x₄ , x₅ запишем задачу в виде:

что и дает эквивалентную задачу в канонической форме.

2. Привести к стандартному виду задачу

Выразим через и остальные переменные:

Целевая функция будет выглядеть следующим образом:

Так как , то перепишем нашу систему следующим образом: .

Итак, эквивалентная задача в стандартной форме будет выглядеть следующим образом:

Источник

1)Задача линейного программирования и различные формы ее записи. Приведение общей задачи лп к симметричной форме записи.

Если целевая функция и система ограничений линейны, то задача математического программирования называется задачей линейного программирования (ЗЛП).

 означает «» , «» или » /html/2706/294/html_1Zz9KUz02H.gabz/img-d2us4Z.png» name=»Рисунок 1″ align=»bottom» width=»298″ height=»37″ border=»0″>

Основная форма ЗЛП

Симметричная форма ЗЛП

Общая задача линейного программирования

Любая задача линейного программирования приводится к стандартной (канонической) форме основной задачи линейного программирования, которая формулируется следующим образом: найти неотрицательные значения переменных X1, X2, Xn, удовлетворяющих ограничениям в виде равенств:

A11X1 + A12X2 + … + A1nXn = B1;

A21X1 + A22X2 + … + A2nXn = B2;

Am1X1 + Am2X2 + … + AmnXn = Bm;

и обращающих в максимум линейную функцию этих переменных:

E = C1X1 + C2X2 + … + CnXn Þ max

При этом также требуется, чтобы правые части равенств были неотрицательны, т.е. должны соблюдаться условия:

Приведение к стандартной форме необходимо, так как большинство методов решения задач линейного программирования разработано именно для стандартной формы. Для приведения к стандартной форме задачи линейного программирования может потребоваться выполнить следующие действия:

перейти от минимизации целевой функции к ее максимизации;

изменить знаки правых частей ограничений;

перейти от ограничений-неравенств к равенствам;

избавиться от переменных, не имеющих ограничений на знак.

Для решения нашей задачи воспользуемся симплекс-методом, так как этот метод предназначен для решения задач линейного программирования любой размерности.

2)Приведение общей задачи лп к каноническому виду.

Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалента минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.

Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:

Источник

Читайте также:  Методы программирования структурное ооп сетевое функциональное