Поиск всех простых делителей числа питон

Нахождение делителей числа с помощью Python

Вот проблема, которую я недавно пытался решить: дано целое число n, каковы все его делители?

Делитель, также известный как фактор или множитель, — это такое целое число m, на которое n делится без остатка. Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

В итоге я написал кое-что с помощью itertools, и в моем коде используется несколько интересных моментов из теории чисел. Я не знаю, буду ли я возвращаться к нему снова, но я надумал написать эту статью, потому что мои попытки решить озвученный выше вопрос перетекли в довольно забавное упражнение.

Простейший подход

Если мы хотим найти все числа, которые делят n без остатка, мы можем просто перебрать числа от 1 до n:

 
 
def get_all_divisors_brute(n): for i in range(1, int(n / 2) + 1): if n % i == 0: yield i yield n
 
На деле нам нужно дойти только до n/2, потому что все, что больше этого значения, гарантировано не может быть делителем n — если вы разделите n на что-то большее, чем n/2, результат не будет целым числом.
 
Этот код очень прост, и для малых значений n он работает достаточно хорошо, но он довольно неэффективен и медлителен в других случаях. По мере увеличения n время выполнения линейно увеличивается. Можем ли мы сделать лучше?
 
Факторизация
 
В моем проекте я работал в основном с факториалами. Факториал числа n, обозначаемый n! — это произведение всех целых чисел от 1 до n включительно. Например:
 
8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
 
Поскольку факториалы состоят преимущественно из небольших множителей, я решил попробовать получить список делителей, определив сначала наименьшие из них. В частности, я искал простые множители, то есть те, которые также являются простыми числами. (Простое число — это число, единственными делителями которого являются оно само и 1. Например, 2, 3 и 5 являются простыми, а 4 и 6 — нет).
 
Вот функция, которая находит простые делители числа n:
 
 
 
def get_prime_divisors(n): i = 2 while i * i 1: yield n
 
Это похоже на предыдущую функцию, использующую перебор делителей: мы продолжаем пробовать множители, и если находим подходящий, то делим на него. В противном случае мы проверяем следующее число. Это довольно стандартный подход к поиску простых множителей.
 
Теперь мы можем использовать этот метод для получения факторизации числа, то есть для его записи в виде произведения простых чисел. Например, факторизация числа 8! выглядит следующим образом:
 
Вычисление такой факторизации относительно эффективно, особенно для факториалов, так как, поскольку все простые множители очень малы, вам не нужно делать много делений.
 
В теории чисел есть утверждение, называемое основной теоремой арифметики, которое гласит, что простые факторизации (разложения) уникальны: для любого числа n существует только один способ представить его в виде произведения простых множителей. (Я не буду приводить здесь доказательство, но вы можете найти его в Википедии).
 
Это дает нам способ находить делители путем перебора всех комбинаций простых множителей. Простые множители любого m делителя числа n должны входить в подмножество простых множителей n, иначе m не делило бы число n.
 
Переход от факторизации к делителям
 
Для начала разложим исходное число на простые множители с указанием «кратности», то есть мы должны получить список всех множителей и количество раз, которое каждый из них встречается в факторизации:
 
 
 
import collections def get_all_divisors(n): primes = get_prime_divisors(n) primes_counted = collections.Counter(primes) .
 
Затем, давайте продолжим и возведем каждое простое число во все степени, которые могут появиться в возможном делителе n.
 
 
 
def get_all_divisors(n): . divisors_exponentiated = [ [div ** i for i in range(count + 1)] for div, count in primes_counted.items() ]
 
Например, для 8! представленный код выдаст нам следующее:
 
 
 
[ [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128], // 2^0, 2^1, . 2^7 [1, 3, 9], // 3^0, 3^1, 3^2 [1, 5], [1, 7], ]
 
Затем, чтобы получить делители, мы можем использовать довольно удобную функцию itertools.product, которая принимает на вход итерабельные объекты и возвращает все возможные упорядоченные комбинации их элементов. В нашем случае она выбирает по одному числу из каждого списка с возведениями в степень, а затем, перемножая их вместе, мы получаем очередной делитель n.
 
 
 
import itertools def calc_product(iterable): acc = 1 for i in iterable: acc *= i return acc def get_all_divisors(n): . for prime_exp_combination in itertools.product(*divisors_exponentiated): yield calc_product(prime_exp_combination)
 
Таким образом, мы находим все делители n (хотя, в отличие от предыдущих функций, они не отсортированы).
 
Собираем все вместе
 
Сложив все это, мы получим следующую функцию для вычисления делителей n:
 
 
 
import collections import itertools def get_prime_divisors(n): i = 2 while i * i 1: yield n def calc_product(iterable): acc = 1 for i in iterable: acc *= i return acc def get_all_divisors(n): primes = get_prime_divisors(n) primes_counted = collections.Counter(primes) divisors_exponentiated = [ [div ** i for i in range(count + 1)] for div, count in primes_counted.items() ] for prime_exp_combination in itertools.product(*divisors_exponentiated): yield calc_product(prime_exp_combination) print(list(get_all_divisors(40320))) # 8!
 
Такая реализация очень эффективна, особенно когда у вас много маленьких простых множителей, как в случае с факториалами, с которыми я работал. Я не знаю, насколько хорошо она покажет себя в общем случае, и, если вы занимаетесь серьезными научными вычислениями, я уверен, что вы легко найдете уже реализованные и оптимизированные алгоритмы для такого рода вещей.
 
Источник
 
Как найти количество делителей числа в Python
 
 
При работе с числами в программировании зачастую бывает нужно найти количество делителей для данного числа. Например, при работе с задачами на поиск простых чисел или при вычислении наибольшего общего делителя. В этой статье мы рассмотрим несколько способов, как найти количество делителей числа в языке программирования Python.
 
Что такое делители числа
 
В математике делителем натурального числа называют все числа, на которые это число делится без остатка. Например, делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12, так как 12 делится на каждое из этих чисел без остатка. Количество делителей числа может быть разным в зависимости от самого числа. Например, у числа 12 имеется 6 делителей, а у числа 17 только 2 делителя (1 и само число).
 
Нахождение количества делителей числа с помощью цикла и проверки на остаток от деления
 
Для нахождения количества делителей числа можно использовать цикл и проверку на остаток от деления. Идея заключается в том, что мы перебираем все числа от 1 до самого числа и проверяем, делится ли число на каждое из этих чисел без остатка. Если да, то это число является делителем и мы увеличиваем счетчик делителей на 1.
 
Вот пример кода на Python, который иллюстрирует этот подход:
 
num = int(input("Введите число: ")) count = 0 for i in range(1, num+1): if num % i == 0: count += 1 print("Количество делителей числа", num, "равно", count)
 
В этом примере мы сначала запрашиваем у пользователя число, затем проходим по всем целым числам от 1 до введенного числа (включительно) с помощью цикла for. Для каждого числа в этом диапазоне мы проверяем, является ли оно делителем введенного числа (то есть, делится ли число нацело на i). Если да, то увеличиваем счетчик делителей на 1. В конце выводим количество найденных делителей на экран.
 
Такой подход работает для любых чисел, включая большие числа. Однако, при больших числах он может работать медленно, поскольку требует перебора всех чисел от 1 до n . Далее мы рассмотрим более эффективные способы нахождения количества делителей числа.
 
Нахождение количества делителей числа с помощью математических свойств чисел
 
Используем свойство: Если число n имеет делитель d, то оно также имеет делитель n/d
 
Данный способ основан на математическом свойстве, что если число n имеет делитель d, то оно также имеет делитель n/d. Исходя из этого свойства, можно заметить, что достаточно искать делители только до квадратного корня числа n, так как все остальные делители можно получить путем деления n на найденный делитель до квадратного корня.
 
Таким образом, для нахождения всех делителей числа n, мы можем использовать цикл от 1 до int(sqrt(n))+1, и проверять, является ли i делителем n, если да, то добавлять i и n/i в список делителей.
 
Например, для числа n=100, квадратный корень из него равен 10. Поэтому, достаточно проверить делители от 1 до 11 (включая 10). Если делитель найден, то мы можем добавить его и соответствующий делитель, найденный путем деления n на найденный делитель, в список делителей. Таким образом, делители числа 100 будут: [1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100].
 
Вот пример кода на Python, который использует данный подход
 
import math def count_divisors(num): # Инициализация счетчика делителей div_count = 0 # Находим квадратный корень из числа sqrt_num = int(math.sqrt(num)) # Проверяем числа от 1 до квадратного корня num for i in range(1, sqrt_num + 1): if num % i == 0: # Если i является делителем, увеличиваем счетчик на 1 div_count += 1 # Проверяем, является ли num/i также делителем (чтобы избежать дублирования) if i != num // i: div_count += 1 # Возвращаем общее количество делителей return div_count
 
Эта функция принимает один аргумент num , который является целым числом. Она использует функцию sqrt() из модуля math , чтобы найти квадратный корень из числа, и затем проверяет все числа от 1 до этого корня на предмет деления на num . Если число делится без остатка, оно добавляется к счетчику делителей div_count . Затем функция проверяет, является ли num делителем num/i , чтобы избежать дублирования. Наконец, функция возвращает общее количество делителей.
 
Данный способ эффективнее, чем перебор всех чисел до n-1, так как число проверок уменьшается в два раза. Однако, при использовании больших чисел, лучше использовать другие методы, например, разложение на простые множители.
 
Используем разложение на простые множители
 
Другой способ нахождения количества делителей числа заключается в использовании его математических свойств. Если мы знаем разложение числа на простые множители, то количество делителей числа можно легко вычислить.
 
Действительно, пусть дано число n = p_1^k_1 * p_2^k_2 * … * p_m^k_m, где p_1, p_2, …, p_m — простые числа, а k_1, k_2, …, k_m — их степени. Тогда каждый делитель числа n можно представить в виде d = p_1^i_1 * p_2^i_2 * … * p_m^i_m, где 0 
 
Для примера, давайте рассмотрим число 24. Его разложение на простые множители выглядит так: 24 = 2^3 * 3^1. Тогда количество делителей числа 24 равно (3 + 1) * (1 + 1) = 8. Это означает, что у числа 24 есть 8 делителей, а именно: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24.
 
Для вычисления количества делителей числа с помощью его разложения на простые множители в Python, нам необходимо воспользоваться функцией factorize() из библиотеки sympy. Она разлагает число на простые множители и возвращает список кортежей, каждый из которых содержит простой множитель и его степень. Затем мы можем вычислить количество делителей по формуле, описанной выше, и вернуть результат.
 
Вот пример кода, использующий функцию factorize() из библиотеки sympy для нахождения количества делителей числа:
 
from sympy import factorint def count_divisors(n): factors = factorint(n) count = 1 for factor in factors.values(): count *= (factor + 1) return count n = 24 print(f"Количество делителей числа : ")
 
Здесь мы сначала импортируем функцию factorint() из библиотеки sympy . Затем определяем функцию count_divisors() , которая принимает на вход число n и возвращает количество его делителей. Внутри функции мы используем функцию factorint() для разложения числа на простые множители и получаем словарь, где ключами являются простые множители, а значениями — их степени. Далее мы вычисляем количество делителей числа с помощью формулы, основанной на свойствах простых множителей, и возвращаем результат.
 
Затем мы просто вызываем функцию count_divisors() для числа 24 и выводим результат на экран. В данном случае результат будет равен 8, что соответствует количеству делителей числа 24 (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24).
 
Источник
 
Читайте также:  React native install typescript