Поиск множителей числа питон

Нахождение делителей числа с помощью Python

Вот проблема, которую я недавно пытался решить: дано целое число n, каковы все его делители?

Делитель, также известный как фактор или множитель, — это такое целое число m, на которое n делится без остатка. Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

В итоге я написал кое-что с помощью itertools, и в моем коде используется несколько интересных моментов из теории чисел. Я не знаю, буду ли я возвращаться к нему снова, но я надумал написать эту статью, потому что мои попытки решить озвученный выше вопрос перетекли в довольно забавное упражнение.

Простейший подход

Если мы хотим найти все числа, которые делят n без остатка, мы можем просто перебрать числа от 1 до n:

 
 
def get_all_divisors_brute(n): for i in range(1, int(n / 2) + 1): if n % i == 0: yield i yield n
 
На деле нам нужно дойти только до n/2, потому что все, что больше этого значения, гарантировано не может быть делителем n — если вы разделите n на что-то большее, чем n/2, результат не будет целым числом.
 
Этот код очень прост, и для малых значений n он работает достаточно хорошо, но он довольно неэффективен и медлителен в других случаях. По мере увеличения n время выполнения линейно увеличивается. Можем ли мы сделать лучше?
 
Факторизация
 
В моем проекте я работал в основном с факториалами. Факториал числа n, обозначаемый n! — это произведение всех целых чисел от 1 до n включительно. Например:
 
8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
 
Поскольку факториалы состоят преимущественно из небольших множителей, я решил попробовать получить список делителей, определив сначала наименьшие из них. В частности, я искал простые множители, то есть те, которые также являются простыми числами. (Простое число — это число, единственными делителями которого являются оно само и 1. Например, 2, 3 и 5 являются простыми, а 4 и 6 — нет).
 
Вот функция, которая находит простые делители числа n:
 
 
 
def get_prime_divisors(n): i = 2 while i * i 1: yield n
 
Это похоже на предыдущую функцию, использующую перебор делителей: мы продолжаем пробовать множители, и если находим подходящий, то делим на него. В противном случае мы проверяем следующее число. Это довольно стандартный подход к поиску простых множителей.
 
Теперь мы можем использовать этот метод для получения факторизации числа, то есть для его записи в виде произведения простых чисел. Например, факторизация числа 8! выглядит следующим образом:
 
Вычисление такой факторизации относительно эффективно, особенно для факториалов, так как, поскольку все простые множители очень малы, вам не нужно делать много делений.
 
В теории чисел есть утверждение, называемое основной теоремой арифметики, которое гласит, что простые факторизации (разложения) уникальны: для любого числа n существует только один способ представить его в виде произведения простых множителей. (Я не буду приводить здесь доказательство, но вы можете найти его в Википедии).
 
Это дает нам способ находить делители путем перебора всех комбинаций простых множителей. Простые множители любого m делителя числа n должны входить в подмножество простых множителей n, иначе m не делило бы число n.
 
Переход от факторизации к делителям
 
Для начала разложим исходное число на простые множители с указанием «кратности», то есть мы должны получить список всех множителей и количество раз, которое каждый из них встречается в факторизации:
 
 
 
import collections def get_all_divisors(n): primes = get_prime_divisors(n) primes_counted = collections.Counter(primes) .
 
Затем, давайте продолжим и возведем каждое простое число во все степени, которые могут появиться в возможном делителе n.
 
 
 
def get_all_divisors(n): . divisors_exponentiated = [ [div ** i for i in range(count + 1)] for div, count in primes_counted.items() ]
 
Например, для 8! представленный код выдаст нам следующее:
 
 
 
[ [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128], // 2^0, 2^1, . 2^7 [1, 3, 9], // 3^0, 3^1, 3^2 [1, 5], [1, 7], ]
 
Затем, чтобы получить делители, мы можем использовать довольно удобную функцию itertools.product, которая принимает на вход итерабельные объекты и возвращает все возможные упорядоченные комбинации их элементов. В нашем случае она выбирает по одному числу из каждого списка с возведениями в степень, а затем, перемножая их вместе, мы получаем очередной делитель n.
 
 
 
import itertools def calc_product(iterable): acc = 1 for i in iterable: acc *= i return acc def get_all_divisors(n): . for prime_exp_combination in itertools.product(*divisors_exponentiated): yield calc_product(prime_exp_combination)
 
Таким образом, мы находим все делители n (хотя, в отличие от предыдущих функций, они не отсортированы).
 
Собираем все вместе
 
Сложив все это, мы получим следующую функцию для вычисления делителей n:
 
 
 
import collections import itertools def get_prime_divisors(n): i = 2 while i * i 1: yield n def calc_product(iterable): acc = 1 for i in iterable: acc *= i return acc def get_all_divisors(n): primes = get_prime_divisors(n) primes_counted = collections.Counter(primes) divisors_exponentiated = [ [div ** i for i in range(count + 1)] for div, count in primes_counted.items() ] for prime_exp_combination in itertools.product(*divisors_exponentiated): yield calc_product(prime_exp_combination) print(list(get_all_divisors(40320))) # 8!
 
Такая реализация очень эффективна, особенно когда у вас много маленьких простых множителей, как в случае с факториалами, с которыми я работал. Я не знаю, насколько хорошо она покажет себя в общем случае, и, если вы занимаетесь серьезными научными вычислениями, я уверен, что вы легко найдете уже реализованные и оптимизированные алгоритмы для такого рода вещей.
 
Источник
 
Программа разложения числа на простые множители в Python
 
В этом руководстве мы обсудим, как получить простой множитель данного числа с помощью программы разложения числа в Python. Все мы знакомы с простыми числами – это числа, которые можно разделить на единицу или на себя. Например – 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, ……
 
Нахождение всех простых множителей числа
 
Если пользователь вводит число как 12, то на выходе должно быть 2, 2, 3, а если на входе 315 – выход должен быть «3 3 5 7». Программа должна вернуть все простые множители данного числа. Простые множители 330 – это 2, 3, 5 и 11. Следовательно, 11 является наиболее значимым простым множителем 330.
 
Например: 330 = 2 × 3 × 5 × 11.
 
Прежде чем писать программу на Python, давайте разберемся со следующими догадками.
 
 
1-я гипотеза – может быть хотя бы один простой множитель, который будет меньше √n в случае, если n не является простым числом.
 
 
Доказательство. Существуют два больших числа sqrt(n), их произведение также должно делить n, но оно будет превышать n, что противоречит нашему предположению. Таким образом, не может быть более одного простого множителя n, большего, чем sqrt(n).
 
Давайте посмотрим на следующий шаг, чтобы выполнить такую операцию.
 
Доказательство. Предположим, что есть два больших числа sqrt(n), тогда их произведение также должно делить n, но оно будет больше n, что противоречит нашему предположению. Таким образом, не может быть более одного простого множителя n, большего, чем sqrt(n).
 
Давайте посмотрим на следующий шаг, чтобы выполнить такую операцию.
 
Пример – программа Python для печати простых множителей.
 
import math # Below function will print the # all prime factor of given number def prime_factors(num): # Using the while loop, we will print the number of two's that divide n while num % 2 == 0: print(2,) num = num / 2 for i in range(3, int(math.sqrt(num)) + 1, 2): # while i divides n , print i ad divide n while num % i == 0: print(i,) num = num / i if num > 2: print(num) # calling function num = 200 prime_factors(num)
 
В приведенном выше коде мы импортировали математический модуль. Функция prime_factor() отвечает за печать составного числа. Сначала мы получаем четные числа; после этого все оставшиеся простые множители должны быть нечетными. В цикле for число должно быть нечетным, поэтому мы увеличили i на два. Цикл for будет вычислять квадратный корень n раз.
 
Давайте разберемся в следующем свойстве составных чисел.
 
Каждое составное число имеет хотя бы один простой множитель, меньший или равный квадратному корню.
 
Программа будет работать следующим образом:
 
 
На первом шаге найдем наименьший простой множитель i.
 
Вхождение i будет удалено из n путем многократного деления n на i.
 
Повторим оба вышеуказанных шага для деления n и i = i + 2. Оба шага будут повторяться до тех пор, пока n не станет либо 1, либо простым числом.
 
 
Давайте разберемся в другом примере, где мы находим наибольший простой множитель данного числа.
 
Пример – 2: Программа Python для определения наибольшего простого множителя заданного числа.
 
def largest_prime_factor(n): i = 2 while i * i 
Источник
Как разложить число на множители всеми возможными способами [закрыт]
Вопросы с просьбами помочь с отладкой («почему этот код не работает?») должны включать желаемое поведение, конкретную проблему или ошибку и минимальный код для её воспроизведения прямо в вопросе. Вопросы без явного описания проблемы бесполезны для остальных посетителей. См. Как создать минимальный, самодостаточный и воспроизводимый пример.
def divide(n): d = 2 while d*d 1: print(n) print('____') n = input(n) n = int(n) divide(n) 
 
Вопросы с просьбами помочь с отладкой («почему этот код не работает?») должны включать желаемое поведение, конкретную проблему или ошибку и минимальный код для её воспроизведения прямо в вопросе. Вопросы без явного описания проблемы бесполезны для остальных посетителей. См. Как создать минимальный, самодостаточный и воспроизводимый пример.
 
2 ответа 2
 
Есть пара идей, в код пока не особо получается преобразовать:
 
Сначала разложим число на простые множители, а потом уже будем их друг на друга комбинациями умножать
 
Код для нахождения простых делителей:
 
n=0 #сброс (необязательно) n =int(input(n)) s_divs=[] #массив простых делителей def s_div(n): #функция нахождения всех простых делителей n a = [] #массив простых делителей d = [] #массив всех 'претендентов' #перебираем делители for i in range(n-2): #от 2 до n-1 включительно d.append(i+2) for i_2 in range(len(d)): #кол-во претендентов if n % d[i_2] == 0: #остаток от деления равен нулю a.append(d[i_2]) print('Простые делители', n, ':', a) s_divs=s_div(n) 
 
Это плохая идея использовать саму процедуру внутри себя, работает некорректно
 
Источник
 
Читайте также:  Решение задачи классификации python