Общий вид канонической задачи линейного программирования

Переход к канонической форме ЗЛП

Каноническая форма ЗЛП — задача линейного программирования вида ax = b , где a — матрица коэффициентов, b — вектор ограничений.

Инструкция . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений). Полученное решение сохраняется в файле Word .

Математическая модель ЗЛП называется основной, если ограничения в ней представлены в виде уравнений при условии неотрицательности переменных.

Математическая модель называется канонической, если ее система ограничений представлена в виде системы m линейно независимых уравнений (ранг системы r=m), в системе выделен единичный базис, определены свободные переменные и целевая функция выражена через свободные переменные. При этом правые части уравнений неотрицательны (b_i ≥ 0).

Переменные, входящие в одно из уравнений системы с коэффициентом один и отсутствующие в других уравнениях называются базисными неизвестными, а все другие – свободными.

Решение системы называется базисным, если в нем свободные переменные равны 0, и оно имеет вид:
X_баз = (0, 0; b₁, …, b_m), f(X_баз) = c₀

Базисное решение является угловой точкой множества решений системы, т.е. определяет вершину многоугольника решений модели. Среди таких решений находится и то, при котором целевая функция принимает оптимальное значение.

Базисное решение называется опорным, если оно допустимо, т.е. все правые части уравнений системы (или неравенств) положительны b_i ≥ 0.

Компактная форма канонической модели имеет вид:
AX = b
X ≥ 0
Z = CX(max)

Понятие допустимого решения, области допустимых решений, оптимального решения задачи линейного программирования.
Определение 1 . Вектор X, удовлетворяющий системе ограничений ЗЛП, в том числе и условиям неотрицательности, если они имеются, называется допустимым решением ЗЛП.
Определение 2 . Совокупность всех допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.
Определение 3 . Допустимое решение, для которого целевая функция достигает максимума (или минимума), называется оптимальным решением.

• эти значения удовлетворяли некоторой системе линейных уравнений или неравенств;
• при этих значениях целевая функция обращалась бы в минимум или максимум.

• неравенства, входящие в систему ограничений задачи, преобразовать в уравнения с помощью введения дополнительных переменных;
• если целевая функция F→max (максимизируется), она заменяется на функцию –F→ min (которая минимизируется).

Пример №1 . Следующую задачу ЛП привести к каноническому виду: F(X) = 5x₁ + 3x₂ → max при ограничениях:
2x₁ + 3x₂≤20
3x₁ + x₂≤15
4x₁≤16
3x₂≤12
Модель записана в стандартной форме. Введем балансовые неотрицательные переменные x₃, x₄, x₅, x₆, которые прибавим к левым частям ограничений-неравенств. В целевую функцию все дополнительные переменные введем с коэффициентами, равными нулю:
В первом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₃. Во 2-ом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₄. В третьем неравенстве вводим базисную переменную x₅. В 4-м неравенстве — базисную переменную x₆. Получим каноническую форму модели:
2x₁ + 3x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 20
3x₁ + 1x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 15
4x₁ + 0x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 16
0x₁ + 3x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ = 12
F(X) = 5x₁ + 3x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ → max Пример №2 . Найти два опорных решения системы
x₁ + 2x₄ – 2x₅ = 4
x₃ + 3x₄ + x₅ = 5
x₂ + 3x₅ = 2 Ответ: X = (4;2;5;0;0) Пример №3 . Привести к канонической форме следующую ЗЛП.
F = 2x₁ — x₂ + 4x₃ -2x₄ → min
при ограничениях:
7x₁ –x₂ +5x₃ + x₄ = -10
3x₁ +5x₂ -9x₃ + 2x₄ = 6
x₁ –x₂ -2x₃ + 6x₄ ≥ 7
x₁ +x₂ -5x₃ ≤ 11
7x₁ –x₂ -3x₃ — x₄ ≤ 9
x₁ ≥0 , x₂ ≥0 (обратите внимание, что переменные x₃ и x₄ имеют произвольный знак) Для приведения ЗЛП к канонической форме необходимо:
1. Поменять знак у целевой функции
— F = -2x₁ + x₂ — 4x₃ +2x₄ → max 2. В левые части трех последних неравенств внести дополнительные переменные x₅, x₆, x₇ со знаком плюс или минус в зависимости от знака неравенства.
7x₁ –x₂ +5x₃ + x₄ = -10
3x₁ +5x₂ -9x₃ + 2x₄ = 6
x₁ –x₂ -2x₃ + 6x₄ –x₅ = 7
x₁ +x₂ -5x₃ +x₆ = 11
7x₁ –x₂ -3x₃ — x₄ +x₇ = 9
x₁ ≥0 , x₂ ≥0, x₅ ≥0 , x₆ ≥0, x₇ ≥0 3. Так как переменные x₃ и x₄ произвольного знака, то они заменяются разностями неотрицательных переменных.
7x₁ –x₂ +5(x₈ – x₉) + (x₁₀ – x₁₁) = -10
3x₁ +5x₂ -9(x₈ – x₉) + 2(x₁₀ – x₁₁) = 6
x₁ –x₂ -2(x₈ – x₉) + 6(x₁₀ – x₁₁) –x₅ = 7
x₁ +x₂ -5(x₈ – x₉) +x₆ = 11
7x₁ –x₂ -3(x₈ – x₉) — (x₁₀ – x₁₁) +x₇ = 9
x₁ ≥0 , x₂ ≥0, x₅ ≥0 , x₆ ≥0, x₇ ≥0 , x₈ ≥0, x₉ ≥0 , x₁₀ ≥0, x₁₁ ≥0 4. Соответствующая целевая функция примет вид:
— F = -2x₁ + x₂ — 4(x₈ – x₉) +2(x₁₀ – x₁₁) → max см. также Как привести каноническую задачу линейного программирования к стандартной форме Пример №2 . Преобразовать следующие задачи ЛП к канонической форме и решить их симплекс-методом.

Источник

4.1. Каноническая форма задачи линейного программирования

Запись целевой функции и системы ограничений в различных задачах линейного программирования неодинаков: в одних задачах требуется найти минимум целевой функции, а в других – максимум; в одних случаях искомые переменные зависят от одного индекса, а в других – от двух; в одних задачах ограничения заданы в виде системы линейных неравенств, а в других – в виде системы линейных уравнений. На практике возможны также задачи, в которых часть ограничений имеет вид линейных неравенств, а часть – линейных уравнений. Также не во всех задачах может требоваться неотрицательность переменных .

Учет такого разнообразия задач линейного программирования требует разработки специальных методов для решения отдельных их классов. Мы же сосредоточим свое внимание на изучении общих свойств и методов линейного программирования, записанных в так называемой канонической форме.

Если в задаче линейного программирования система исходных ограничений приобретает вид уравнений типа

или

и нужно найти максимум линейной целевой функции

,

то считается, что задача линейного программирования записана в канонической форме.

Любую задачу линейного программирования можно легко свести к канонической форме. В общем случае для этого достаточно уметь, во-первых, свести задачу минимизации целевой функции к задаче ее максимизации, во-вторых, переходить от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам, и в-третьих, менять те переменные, которые не подчинены условию неотрицательности.

В том случае, когда нужно найти минимум функции , можно перейти к нахождению максимума функции , поскольку справедливо утверждение: .

Ограничение-неравенство исходной задачи, которое имеет вид «» , можно превратить в ограничение-уравнение путем добавления к его левой части дополнительной неотрицательной переменной, а ограничение-неравенство вида «»– путем вычитания из его левой части дополнительной неотрицательной переменной.

Заметим, что количество введенных дополнительных неотрицательных переменных всегда равно количеству неравенств в исходной системе ограничений.

Введены дополнительные переменные имеют вполне конкретный экономический смысл. Так, если в ограничениях исходной задачи линейного программирования отражаются расходы и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной показывает объем соответствующего неиспользованного ресурса.

Отметим также, что если некоторая переменная не подчиняется условию неотрицательности, то ее нужно заменить двумя неотрицавтельными переменными и , приняв .

Пример. Записать в канонической форме следующую задачу линейной оптимизации: найти минимум функции при ограничениях

В данной задаче нужно найти минимум целевой функции, а система ограничений включает четыре неравенства. Для того, чтобы записать ее в канонической форме, нужно перейти от ограничений-неравенств к ограничениям-уравнениям, а также превратить целевую функцию.

Так как количество неравенств, входящих в систему ограничений задачи , равно четырем, то этот переход должен быть осуществлен с введением четырех дополнительных неотрицательных переменных. При этом во втором и четвертом неравенствах стоит знак «» , поэтому к их левой части дополнительные переменные добавляем. В первом и третьем неравенствах – знак «», значит от их левой части дополнительные переменные вычитаем.

Также превращаем целевую функцию, поменяв все знаки на противоположные, и находим ее максимум.

Таким образом, данная задача линейного программирования будет записана в следующем каноническом виде:

найти максимум функции

при ограничениях

Источник