Множество мандельброта python код

Множество Мандельброта на Python

В 1985 году я прочитал статью Александра К. Дьюдни, ведущего раздел занимательной науки журнала “Scientific American એ ”, о множестве Мандельброта, написал программу его визуализации на цветном телевизоре, подключенном через модуль крейта CAMAC к машинке MERA-CAMAC-125/СМ4А. После чего мы с коллегами могли часами генерировать и рассматривать завораживающие картинки, записывая выдающиеся в файлы на память. После упомянутой публикации подобные множества стали необычайно популярны, например, множество Мандельброта использовал в качестве своей эмблемы фонд Сороса એ . Гораздо позже, лет через десять, когда меня поразил Парадокс береговой линии એ , я узнал красивое и непонятное словосочетание «голоморфная динамика».

Голоморфная динамика એ — область математики, где живут множество Мандельброта એ и множество Жюлиа એ , где кроме красивых картинок есть красивые теоремы, а что самое главное, до сих пор есть неразгаданные загадки. Впрочем, я не математик и в этой области у меня самостоятельных работ нет, что, однако, не помешает вспомнить прошлое и рассказать, как строить завораживающие картинки на популярном языке Python.

Описание алгоритма

Итак, план такой. Пусть c — некоторое комплексное число. Рассмотрим последовательность чисел z₀, z₁, z₂, … , которая строится следующим образом:

На каждом шаге мы берём предыдущее число, возводим в квадрат и прибавляем c. В зависимости от значения c, последовательность чисел k> может быть ограниченной или неограниченной. При некоторых значениях она стремительно улетает в бесконечность (конечно в пределах разрядной сетки), а при некоторых тормозится. Если последовательность ограничена, мы говорим, что c принадлежит множеству Мандельброта M.

Поскольку число c комплексное, у него есть вещественная и мнимая части. Каждое комплексное число задаётся точкой декартовой плоскости: по горизонтальной координате будем откладывать вещественную часть, а по вертикальной — мнимую. Таким образом, множество M является множеством на вещественной плоскости.

Для построения графического изображения множества Мандельброта можно использовать алгоритм, называемый escape-time. Суть его такова. Всё множество полностью расположено внутри круга радиуса 2 на плоскости. Поэтому будем считать, что если для точки c последовательность итераций функции f_c = z₂ + c с начальным значением z = 0 после некоторого большого их числа N (скажем, 100) не вышла за пределы этого круга, то точка принадлежит множеству и красится в черный цвет. Соответственно, если на каком-то этапе, меньшем N, элемент последовательности по модулю стал больше 2, то точка множеству не принадлежит и остается белой. Таким образом, можно получить черно-белое изображение множества, которое и было получено Мандельбротом. Вот с этого мы и начнём.

Чёрно-белое множество, то которое получил Мандельброт

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # библиотеки # инициализиация pmin, pmax, qmin, qmax = -2.5, 1.5, -2, 2 # пусть c = p + iq и p меняется в диапазоне от pmin до pmax, # а q меняется в диапазоне от qmin до qmax ppoints, qpoints = 200, 200 # число точек по горизонтали и вертикали max_iterations = 300 # максимальное количество итераций infinity_border = 100 # если ушли на это расстояние, считаем, что ушли на бесконечность image = np.zeros((ppoints, qpoints)) # image — это двумерный массив, в котором будет записана наша картинка # по умолчанию он заполнен нулями for ip, p in enumerate(np.linspace(pmin, pmax, ppoints)): for iq, q in enumerate(np.linspace(qmin, qmax, qpoints)): c = p + 1j * q # буквой j обозначается мнимая единица: чтобы Python понимал, что речь # идёт о комплексном числе, а не о переменной j, мы пишем 1j z = 0 for k in range(max_iterations): z = z ** 2 + c # Самая Главная Формула if abs(z) > infinity_border: # если z достаточно большое, считаем, что последовательость # ушла на бесконечность # или уйдёт # можно доказать, что infinity_border можно взять равным 4 image[ip, iq] = 1 # находимся вне M: отметить точку как белую break plt.xticks([]) plt.yticks([]) # выключим метки на осях plt.imshow(-image.T, cmap='Greys') # транспонируем картинку, чтобы оси были направлены правильно # перед image стоит знак минус, чтобы множество Мандельброта рисовалось # чёрным цветом plt.show()

Чтобы сделать его цветным, можно, например, каждую точку не из множества красить в цвет, соответствующий номеру итерации, на котором её последовательность вышла за пределы круга.

Цветное множество, то которое за Мандельброта получили другие

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # библиотеки # инициализиация pmin, pmax, qmin, qmax = -2.5, 1.5, -2, 2 # пусть c = p + iq и p меняется в диапазоне от pmin до pmax, # а q меняется в диапазоне от qmin до qmax ppoints, qpoints = 200, 200 # число точек по горизонтали и вертикали max_iterations = 300 # максимальное количество итераций infinity_border = 10 # если ушли на это расстояние, считаем, что ушли на бесконечность def mandelbrot(pmin, pmax, ppoints, qmin, qmax, qpoints, max_iterations=200, infinity_border=10): image = np.zeros((ppoints, qpoints)) p, q = np.mgrid[pmin:pmax:(ppoints*1j), qmin:qmax:(qpoints*1j)] c = p + 1j*q z = np.zeros_like(c) for k in range(max_iterations): z = z**2 + c mask = (np.abs(z) > infinity_border) & (image == 0) image[mask] = k z[mask] = np.nan return -image.T image = mandelbrot(-2.5, 1.5, 1000, -2, 2, 1000) plt.xticks([]) plt.yticks([]) plt.imshow(image, cmap='flag', interpolation='none') plt.show()

Изменяем палитру множества Мандельброта

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from itertools import cycle import matplotlib.colors as clr # библиотеки # инициализиация pmin, pmax, qmin, qmax = -2.5, 1.5, -2, 2 # пусть c = p + iq и p меняется в диапазоне от pmin до pmax, # а q меняется в диапазоне от qmin до qmax ppoints, qpoints = 200, 200 # число точек по горизонтали и вертикали max_iterations = 300 # максимальное количество итераций infinity_border = 10 # если ушли на это расстояние, считаем, что ушли на бесконечность def mandelbrot(pmin, pmax, ppoints, qmin, qmax, qpoints, max_iterations=200, infinity_border=10): image = np.zeros((ppoints, qpoints)) p, q = np.mgrid[pmin:pmax:(ppoints*1j), qmin:qmax:(qpoints*1j)] c = p + 1j*q z = np.zeros_like(c) for k in range(max_iterations): z = z**2 + c mask = (np.abs(z) > infinity_border) & (image == 0) image[mask] = k z[mask] = np.nan return -image.T #image = mandelbrot(-0.793191078177363, 0.16093721735804, 1000, -0.793191, 0.160937, 1000) plt.figure(figsize=(10, 10)) colorpoints = [(1 - (1 - q) ** 4, c) for q, c in zip(np.linspace(0, 1, 20), cycle(['#ffff88', '#000000', '#ffaa00', ]))] cmap = clr.LinearSegmentedColormap.from_list('mycmap', colorpoints, N=2048) # LinearSegmentedColormap создаёт палитру по заданным точкам и заданным цветам # можете попробовать выбрать другие цвета plt.xticks([]) plt.yticks([]) image = mandelbrot(-2.5, 1.5, 1000, -2, 2, 1000) plt.imshow(image, cmap=cmap, interpolation='none') plt.show()

Углубляемся

А теперь в наш алгоритм добавим еще один цикл и рассмотрим поподробнее множество Мандельброта в окрености точки -0.793191078177363, 0.16093721735804

p_center, q_center = -0.793191078177363, 0.16093721735804 for i in range(1,11): scalefactor = i / 12000 plt.xticks([]) plt.yticks([]) pmin_ = (pmin - p_center) * scalefactor + p_center qmin_ = (qmin - q_center) * scalefactor + q_center pmax_ = (pmax - p_center) * scalefactor + p_center qmax_ = (qmax - q_center) * scalefactor + q_center image = mandelbrot(pmin_, pmax_, 500, qmin_, qmax_, 500) print("(", pmin_, ",", pmax_, ") (", qmin_, ",", qmax_, ")") plt.figure(figsize=(10, 10)) plt.imshow(image, cmap='flag', interpolation='none') filename = "images//mandelbrot-" + str(i) + ".png" plt.savefig(filename, format="png") print(filename + " saved")

Думаю, что комментировать здесь особо нечего, итак все понятно, просто наслаждайтесь чудесами из мира фракталов.

Источник

thr0wn / mandelbrot.py

This file contains bidirectional Unicode text that may be interpreted or compiled differently than what appears below. To review, open the file in an editor that reveals hidden Unicode characters. Learn more about bidirectional Unicode characters

import turtle

import math

def mandelbrot ( z , c , n = 20 ):

if abs ( z ) > 10 ** 12 :

return float ( «nan» )

elif n > 0 :

return mandelbrot ( z ** 2 + c , c , n — 1 )

else :

return z ** 2 + c

# screen size (in pixels)

screenx , screeny = 800 , 600

# complex plane limits

complexPlaneX , complexPlaneY = ( — 2.0 , 2.0 ), ( — 1.0 , 2.0 )

# discretization step

step = 2

# turtle config

turtle . tracer ( 0 , 0 )

turtle . setup ( screenx , screeny )

turtle . bgcolor ( «#010f7c» )

screen = turtle . Screen ()

screen . title ( «Mandelbrot Fractal (discretization step = %d)» % ( int ( step )))

mTurtle = turtle . Turtle ()

mTurtle . penup ()

mTurtle . shape ( «turtle» )

# px * pixelToX = x in complex plane coordinates

pixelToX , pixelToY = ( complexPlaneX [ 1 ] — complexPlaneX [ 0 ]) / screenx , ( complexPlaneY [ 1 ] — complexPlaneY [ 0 ]) / screeny

# plot

for px in range ( — screenx / 2 , screenx / 2 , int ( step )):

for py in range ( — screeny / 2 , screeny / 2 , int ( step )):

x , y = px * pixelToX , py * pixelToY

m = mandelbrot ( 0 , x + 1j * y )

if not math . isnan ( m . real ):

color = [ abs ( math . sin ( m . imag )) for i in range ( 3 )]

mTurtle . color ( color )

mTurtle . dot ( 2.4 , color )

mTurtle . goto ( px , py )

turtle . update ()

turtle . mainloop ()

Источник