sklearn.linear_model .LinearRegression¶
LinearRegression fits a linear model with coefficients w = (w1, …, wp) to minimize the residual sum of squares between the observed targets in the dataset, and the targets predicted by the linear approximation.
Parameters : fit_intercept bool, default=True
Whether to calculate the intercept for this model. If set to False, no intercept will be used in calculations (i.e. data is expected to be centered).
copy_X bool, default=True
If True, X will be copied; else, it may be overwritten.
n_jobs int, default=None
The number of jobs to use for the computation. This will only provide speedup in case of sufficiently large problems, that is if firstly n_targets > 1 and secondly X is sparse or if positive is set to True . None means 1 unless in a joblib.parallel_backend context. -1 means using all processors. See Glossary for more details.
positive bool, default=False
When set to True , forces the coefficients to be positive. This option is only supported for dense arrays.
Estimated coefficients for the linear regression problem. If multiple targets are passed during the fit (y 2D), this is a 2D array of shape (n_targets, n_features), while if only one target is passed, this is a 1D array of length n_features.
Rank of matrix X . Only available when X is dense.
singular_ array of shape (min(X, y),)
Singular values of X . Only available when X is dense.
intercept_ float or array of shape (n_targets,)
Independent term in the linear model. Set to 0.0 if fit_intercept = False .
n_features_in_ int
Number of features seen during fit .
Names of features seen during fit . Defined only when X has feature names that are all strings.
Ridge regression addresses some of the problems of Ordinary Least Squares by imposing a penalty on the size of the coefficients with l2 regularization.
The Lasso is a linear model that estimates sparse coefficients with l1 regularization.
Elastic-Net is a linear regression model trained with both l1 and l2 -norm regularization of the coefficients.
From the implementation point of view, this is just plain Ordinary Least Squares (scipy.linalg.lstsq) or Non Negative Least Squares (scipy.optimize.nnls) wrapped as a predictor object.
>>> import numpy as np >>> from sklearn.linear_model import LinearRegression >>> X = np.array([[1, 1], [1, 2], [2, 2], [2, 3]]) >>> # y = 1 * x_0 + 2 * x_1 + 3 >>> y = np.dot(X, np.array([1, 2])) + 3 >>> reg = LinearRegression().fit(X, y) >>> reg.score(X, y) 1.0 >>> reg.coef_ array([1., 2.]) >>> reg.intercept_ 3.0. >>> reg.predict(np.array([[3, 5]])) array([16.])
Get metadata routing of this object.
Get parameters for this estimator.
Predict using the linear model.
Return the coefficient of determination of the prediction.
Request metadata passed to the fit method.
Set the parameters of this estimator.
Request metadata passed to the score method.
Parameters : X of shape (n_samples, n_features)
y array-like of shape (n_samples,) or (n_samples, n_targets)
Target values. Will be cast to X’s dtype if necessary.
sample_weight array-like of shape (n_samples,), default=None
Individual weights for each sample.
New in version 0.17: parameter sample_weight support to LinearRegression.
Get metadata routing of this object.
Please check User Guide on how the routing mechanism works.
Returns : routing MetadataRequest
A MetadataRequest encapsulating routing information.
Get parameters for this estimator.
Parameters : deep bool, default=True
If True, will return the parameters for this estimator and contained subobjects that are estimators.
Returns : params dict
Parameter names mapped to their values.
Predict using the linear model.
Parameters : X array-like or sparse matrix, shape (n_samples, n_features)
Returns : C array, shape (n_samples,)
Return the coefficient of determination of the prediction.
The coefficient of determination \(R^2\) is defined as \((1 — \frac)\) , where \(u\) is the residual sum of squares ((y_true — y_pred)** 2).sum() and \(v\) is the total sum of squares ((y_true — y_true.mean()) ** 2).sum() . The best possible score is 1.0 and it can be negative (because the model can be arbitrarily worse). A constant model that always predicts the expected value of y , disregarding the input features, would get a \(R^2\) score of 0.0.
Parameters : X array-like of shape (n_samples, n_features)
Test samples. For some estimators this may be a precomputed kernel matrix or a list of generic objects instead with shape (n_samples, n_samples_fitted) , where n_samples_fitted is the number of samples used in the fitting for the estimator.
y array-like of shape (n_samples,) or (n_samples, n_outputs)
sample_weight array-like of shape (n_samples,), default=None
Returns : score float
The \(R^2\) score used when calling score on a regressor uses multioutput=’uniform_average’ from version 0.23 to keep consistent with default value of r2_score . This influences the score method of all the multioutput regressors (except for MultiOutputRegressor ).
Request metadata passed to the fit method.
Note that this method is only relevant if enable_metadata_routing=True (see sklearn.set_config ). Please see User Guide on how the routing mechanism works.
The options for each parameter are:
- True : metadata is requested, and passed to fit if provided. The request is ignored if metadata is not provided.
- False : metadata is not requested and the meta-estimator will not pass it to fit .
- None : metadata is not requested, and the meta-estimator will raise an error if the user provides it.
- str : metadata should be passed to the meta-estimator with this given alias instead of the original name.
The default ( sklearn.utils.metadata_routing.UNCHANGED ) retains the existing request. This allows you to change the request for some parameters and not others.
This method is only relevant if this estimator is used as a sub-estimator of a meta-estimator, e.g. used inside a pipeline.Pipeline . Otherwise it has no effect.
Parameters : sample_weight str, True, False, or None, default=sklearn.utils.metadata_routing.UNCHANGED
Metadata routing for sample_weight parameter in fit .
Returns : self object
Set the parameters of this estimator.
The method works on simple estimators as well as on nested objects (such as Pipeline ). The latter have parameters of the form __ so that it’s possible to update each component of a nested object.
Parameters : **params dict
Returns : self estimator instance
Request metadata passed to the score method.
Note that this method is only relevant if enable_metadata_routing=True (see sklearn.set_config ). Please see User Guide on how the routing mechanism works.
The options for each parameter are:
- True : metadata is requested, and passed to score if provided. The request is ignored if metadata is not provided.
- False : metadata is not requested and the meta-estimator will not pass it to score .
- None : metadata is not requested, and the meta-estimator will raise an error if the user provides it.
- str : metadata should be passed to the meta-estimator with this given alias instead of the original name.
The default ( sklearn.utils.metadata_routing.UNCHANGED ) retains the existing request. This allows you to change the request for some parameters and not others.
This method is only relevant if this estimator is used as a sub-estimator of a meta-estimator, e.g. used inside a pipeline.Pipeline . Otherwise it has no effect.
Parameters : sample_weight str, True, False, or None, default=sklearn.utils.metadata_routing.UNCHANGED
Metadata routing for sample_weight parameter in score .
Returns : self object
Линейная регрессия. Разбор математики и реализации на python
Тема линейной регресии рассмотрена множество раз в различных источниках, но, как говорится, «нет такой избитой темы, которую нельзя ударить еще раз». В данной статье рассмотрим указанную тему, используя как математические выкладки, так и код python, пытаясь соблюсти баланс на грани простоты и должном уровне для понимания математических основ.
Линейная регрессия представляется из себя регриссионную модель зависимости одной (объясняемой, зависимой) переменной от другой или нескольких других переменных (фактров, регрессоров, независимых переменных) с линейной функцией зависимости. Рассмотрим модель линейной регрессии, при которой зависимая переменная зависит лишь от одного фактора, тогда функция, описывающуя зависимость y от x будет иметь следующий вид:
и задача сводится к нахождению весовых коэффициентов w0 и w1, таких что такая прямая максимально «хорошо» будет описывать исходные данные. Для этого зададим функцию ошибки, минимизация которой обеспечит подбор весов w0 и w1, используя метод наименьших квадратов:
или подставив уравнение модели
Минимизируем функцию ошибки MSE найдя частные производные по w0 и w1
И приравняв их к нулю получим систему уравнений, решение которой обеспечит минимизацию функции потерь MSE.
Раскроем сумму и с учетом того, что -2/n не может равняться нулю, приравняем к нулю вторые множители
Выразим w0 из первого уравнения
Подставив во второе уравнение решим относительно w1
И выразив w1 последнего уравнения получим
Задача решена, однако представленный способ слабо распространим на большое количество фичей, уже при появлении второго признака вывод становится достаточно громоздким, не говоря уже о большем количестве признаков.
Справиться с этой задачей нам поможет матричный способ представления функции потерь и ее минимизация путем дифференцирования и нахождения экстремума в матричном виде.
Предположим, что дана следующая таблица с данными
Для вычисления интерсепта (коэффициента w0) необходимо к таблице добавить столбец слева с фактором f0 все значения которого равны 1 (единичный вектор-столбец). И тогда столбцы f0-f3 (по количеству столбцов не ограничены, можно считать fn) можно выделить в матрицу X, целевую переменную в матрицу-столбец y, а искомые коэффициенты можно представить в виде вектора w.
можно представить в следующем виде
Представим в виде скалярного произведения < >и вычислим производную используя дифференциал
приведем формулу к следующему виду
Поскольку дифференциал разницы равен разнице дифференциалов, дифференциал константы (y) равен нулю и константу (в данном случае матрицу X) можно вынести за знак дифференциала, получим
Используя свойство скалярного произведения перенесем матрицу X справа налево незабыв транспонировать ее
Собственно, то что слева и есть дифференциал, найдем экстремум приравняв его к нулю и решив по параметрам w
раскроем скобки и перенесем значения без w вправо
Домножим слева обе стороны равенства на обратную матрицу произведения транспонированной матрицы X на X для выражения вектора w, тогда получим
Аналитическое решение получено, переходим к реализации на python.
#импорт необходимых библиотек import numpy as np from sklearn.linear_model import LinearRegression #зададим начальные условия f0 = np.array([1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]) f1 = np.array([1.1, 2.1, 3.1, 4.4, 5.2, 6.4, 7.1, 8.2, 9.4, 10.5]) f2 = np.array([1.4, 2.3, 3.4, 4.1, 5.5, 6.2, 7.3, 8.4, 9.2, 10.1]) f3 = np.array([1.2, 2.2, 3.4, 4.2, 5.3, 6.2, 7.3, 8.4, 9.2, 10.3]) y = np.array([[1.2], [2.2], [3.3], [4.3], [5.2], [6.3], [7.2], [8.3], [9.3], [10.2]]) w = np.array([np.nan, np.nan, np.nan, np.nan]) X = np.array([f0, f1, f2, f3]).T #рассчитаем коэффициенты используя выведенную формулу coef_matrix = np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), y) print(f'Коэффициенты рассчитанные по формуле ') #Коэффициенты рассчитанные по формуле [0.05994939 0.42839296 0.09249473 0.46642055] #проверим расчет используя библиотеку sklearn model = LinearRegression().fit(X, y) coef_sklearn = model.coef_.T coef_sklearn[0] = model.intercept_ print(f'Коэффициенты рассчитанные с использованием библиотеки sklearn ') #Коэффициенты полученные с рассчитанные библиотеки sklearn [0.05994939 0.42839296 0.09249473 0.46642055]Надеюсь эта статья помогла заглянуть под капот одного из базовых методов машинного обучения — линейной регрессии и станет первой ступенью в этот увлекательный мир: математика машинного обучения.