Краевая задача метод стрельбы python

Содержание

Метод стрельбы
Описание метода
Алгоритм
Пример программы на языке Python
Примечания
Метод стрельбы в Python
Основы метода стрельбы
Реализация метода стрельбы в Python
Пример использования
Заключение
МЕТОД СТРЕЛЬБЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ PYTHON

Метод стрельбы

Метод стрельбы (краевая задача) — численный метод, заключающийся в сведении краевой задачи к некоторой задаче Коши для той же системы дифференциальных уравнений. Суть: первое решение при последовательном изменении аргумента и повторении вычислений становится точнее

Описание метода

Рассматривается задача для системы двух уравнений первого порядка с краевыми условиями общего вида:

Алгоритм

1. Выбирается произвольно условие [math]\displaystyle< u(a)= \eta >[/math] .

2. Рассматривается левое краевое условие как алгебраическое уравнение [math]\displaystyle< \varphi (\eta, v(a)) = 0 >[/math] . Определяем удовлетворяющее ему значение [math]\displaystyle< v(a) = \zeta(\eta) >[/math] .

3. Выбираются значения [math]\displaystyle< u(a) = \eta, v(a) = \zeta >[/math] в качестве начальных условий задачи Коши для рассматриваемой системы и интегрируется эта задача Коши любым численным методом (например, по схемам Рунге — Кутты).

4. В итоге получается решение [math]\displaystyle< u(x; \eta), v(x;\eta) >[/math] , зависящее от η как от параметра.

Значение [math]\displaystyle< \zeta >[/math] выбрано так, что найденное решение удовлетворяет левому краевому условию. Однако правому краевому условию это решение, вообще говоря, не удовлетворяет: при его подстановке левая часть правого краевого условия, рассматриваемая как некоторая функция параметра [math]\displaystyle< \eta >[/math] :

[math]\displaystyle< \tilde<\psi>(\eta) = \psi(u(b; \eta), v(b; \eta)) >[/math] ,

5. Подбирается параметр η по условию нахождения такого значения, для которого [math]\displaystyle< \tilde<\psi>(\eta) \approx 0 >[/math] с требуемой точностью.

Таким образом, решение краевой задачи сводится к нахождению корня одного алгебраического уравнения [math]\displaystyle< \tilde<\psi>(\eta) = 0 >[/math] . [1]

Пример программы на языке Python

import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np a, b = 0.0, 1.0 A, B = 1.0, np.e n = 5 h = (b - a) / n D0, D1 = A + h, h y = [[A, D0], [0, D1]] def p(x): return 1 def q(x): return 1 def f(x): return 3 * (np.e **x) def get_c1(): global n return (B - y[0][n]) / y[1][n] def get_solv_y_i(i): return y[0][i] + get_c1() * y[1][i] x = np.linspace(a, b, n+1) def div(a, b): return a / b for i in range(1, n): y[0].append( div( (h ** 2 * f(x[i]) - (1.0 - (h / 2) * p(x[i])) * y[0][i - 1] - (h ** 2 * q(x[i]) - 2) * y[0][i]), 1 + h / 2 * p(x[i]) ) ) y[1].append( div( -(1 - h / 2 * p(x[i])) * y[1][i - 1] - (h ** 2 * q(x[i]) - 2) * y[1][i], 1 + h / 2 * p(x[i]) ) ) plt.plot(x, [get_solv_y_i(i) for i in range(n + 1)]) plt.show() for i in range(n): print(x[i], get_solv_y_i(i))

Примечания

Источник

Метод стрельбы в Python

Метод стрельбы — это численный метод для решения краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В этой статье мы познакомимся с тем, как реализовать метод стрельбы с использованием языка программирования Python.

Основы метода стрельбы

Метод стрельбы заключается в связывании краевой задачи с начальной задачей для ОДУ. Для этого мы «стреляем» из одной границы области в другую, корректируя параметры начальной задачи, чтобы найти решение краевой задачи.

Реализация метода стрельбы в Python

Для реализации метода стрельбы в Python, мы будем использовать библиотеку scipy , которая предоставляет набор функций для решения ОДУ. В частности, мы будем использовать функцию solve_ivp из модуля scipy.integrate .

 import numpy as np from scipy.integrate import solve_ivp def shooting_method(func, a, b, alpha, beta, u0, u1, tol=1e-6, max_iter=100): def boundary_condition(v): return v[0] - alpha def ivp(t, v, u): return [v[1], func(t, v, u)] iter_count = 0 while iter_count < max_iter: sol = solve_ivp(ivp, (a, b), [u0, u1], args=(u1,), t_eval=np.linspace(a, b, 10), rtol=tol, atol=tol) if abs(sol.y[0][-1] - beta) < tol: break u0, u1 = u1, u1 - (sol.y[0][-1] - beta) / (sol.y[1][-1] - boundary_condition(sol.y[:, -1])) iter_count += 1 return sol

В этом коде мы определяем функцию shooting_method , которая принимает на вход функцию func , определяющую ОДУ, границы a и b , краевые условия alpha и beta , начальные значения u0 и u1 , а также параметры tol и max_iter для контроля сходимости итерационного про

процесса. Функция shooting_method возвращает объект sol , содержащий решение начальной задачи, которое аппроксимирует решение краевой задачи.

Пример использования

Рассмотрим краевую задачу для ОДУ второго порядка:

Воспользуемся функцией shooting_method для нахождения приближенного решения этой задачи:

 def func(t, v, u): return -v[0] a = 0 b = 1 alpha = 1 beta = 2 u0 = alpha u1 = 1 sol = shooting_method(func, a, b, alpha, beta, u0, u1) print("Решение краевой задачи:", sol.y[0])

В результате выполнения данного кода мы получим приближенное решение краевой задачи, которое можно использовать для дальнейшего анализа или визуализации.

Заключение

В этой статье мы рассмотрели основы метода стрельбы и его реализацию на языке программирования Python с использованием библиотеки scipy . Метод стрельбы является мощным инструментом для решения краевых задач ОДУ и может быть использован в различных областях науки и техники.

Источник

МЕТОД СТРЕЛЬБЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ PYTHON

Метод стрельбы является одним из наиболее распространенных численных методов решения краевых задач в Python. Суть метода заключается в приближенном нахождении начальных значений производных решения в точке левого или правого края области. Затем, решение уравнения с этими начальными значениями производных прогоняется через всю область, проверяя, соответствует ли полученное решение краевым условиям.

Для примера, рассмотрим задачу о нахождении решения дифференциального уравнения второго порядка с краевыми условиями:

$$y'' + y = 0, \quad y(0) = 0, \quad y(\pi/2) = 1$$

Для использования метода стрельбы, необходимо привести краевые условия к виду задачи Коши, то есть найти начальные значения $y(0)$ и $y'(0)$ соответствующего дифференциального уравнения первого порядка:

y = [0, 1]
dydx = [0, 0]
x = np.linspace(0, np.pi/2, 100)
sol = solve_ivp(f, [0, np.pi/2], y, t_eval=x, method='RK45')
y_new = sol.y[0,-1]

Здесь функция $f$ определяется как

В данном примере, задача сведена к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка, которую можно решить численно с помощью функции solve_ivp из библиотеки scipy.integrate .

Полученное целевое значение $y(\pi/2)$ сравнивается с заданным, и на основе разницы между этими значениями корректируются начальные значения производных, после чего решение уравнения пересчитывается. По мере повторения процесса, решение стремится к точному решению краевой задачи.