Линейное программирование в экономическом анализе
Основа выполнения любой задачи – это приятие кем-либо оптимального решения. Оптимальное решение позволяет достичь цель в заданных условиях с максимальным эффектом. Появление математических исследований конкретных проблем экономики приходится на конец 19-го- начало 20-го века.
К. Маркс описал в своей модели расширенного воспроизводства традиционное использование математических методов для формализованной характеристики. Данная модель стала первой макроэкономической моделью, которая позволяет открыть важные особенности производства.
Создатель математической школы Л. Вальрас в 1974 году разработал единую статистическую экономико-математическую модель народного хозяйства, которая стала называться системой общего равновесия экономики.
В модели Вальраса рациональными элементами являются постановка экстремальной задачи на экономики в целом и подход к стоимости как составляющей поиска общего оптимума.
В 1897 году известным буржуазным экономистом-математиком Парето на основе статистического материала была установлена закономерность распределения доходов в обществе в виде гиперболы – «кривая Парето».
В 1904 году русский экономист-математик В. К. Дмитриев создал уравнения связи расходов и выпуска продукции, использованные в дальнейшем американским экономистом В. Леонтьевым с целью построения баланса «затраты-выпуск».
Данные работы являются первыми попытками построить экономико-математическую модель. Их разработка разделила экономико-математический анализ статистических данных на два направления:
- Использование методов с целью характеристики экономических явлений;
- Для определения зависимости между ними.
В 1939 году ленинградским государственным университетом была выпущена книга Л.В. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства». И лишь только через десять лет метод линейного программирования был переоткрыт в другой форме в США. Статьи по данной проблеме были опубликованы в 1949 году, в них Дж. Данциг излагал свой симплексный метод, который имеет много общих черт с методом последовательного преобразования плана, применявшимся Л. В. Канторовичем в решении практических задач.
Еще до Канторовича в России публиковались работы, содержавшие предпосылки к определению линейного программирования. Например, в 1930 году экономисты-транспортники, чтобы построить оптимальный план перевозок, разработали транспортную задачу в сетевом виде и решили ее без использования математического обоснования.
Работы по линейному программированию стали часто издаваться в 1950-х годах, когда велась детальная разработка основных методов решения, создавалось множество различных алгоритмов, применялись в практике новые методы, появлялась обширная литература.
Помимо методов решения задач линейного программирования, выпускались работы, содержащие методы динамического и нелинейного программирования.
Характеристика метода линейного программирования
Линейное программирование в экономическом анализе позволяет обосновать наиболее оптимальные экономические решения при жестких ограничениях, которые относятся к применяемым ресурсам в производстве (основные фонды, трудовые ресурсы, материалы и т.д.).
Применяя данный метод, можно решать задачи планирования деятельности предприятия. С его помощью можно определить оптимальную величину выпуска продукции, направления эффективного применения имеющихся производственных ресурсов.
Метод линейного программирования позволяет решать экстремальные задачи, когда определяются крайние значения, т.е. максимум и минимум функций переменных.
Линейное программирование применяется также при анализе переменных величин, когда имеют место определенные ограничивающие факторы.
Распространено решение транспортной задачи посредством линейного программирования. Сущность данной задачи состоит в минимизации затрат, которые возникают при эксплуатации транспортных средств в условиях ограничений относительно количества данных транспортных средств, продолжительности работы, грузоподъемности и т.д.
Помимо этого, линейное программирование позволяет решить задачу составления расписания. Необходимо распределить время функционирования персонала таким образом, чтобы оно было приемлемым для каждого сотрудника, а также для клиентов компании. Задача в данном случае состоит в максимизации количества клиентов при ограничениях количества персонала и рабочего времени.
Из всего вышесказанного следует, что линейное программирование в экономическом анализе весьма распространено: оно применяется при анализе использования и размещения ресурсов, при планировании и прогнозировании деятельности компании.
Общая задача линейного программирования
Среди большого количества оптимизационных задач выделяются задачи линейного программирования, которые имеют специфические черты.
В каждой задаче элементы решения – это ряд неотрицательных переменных $x_1, x_2,…, x_n$. Следует так выбирать значения данных переменных, чтобы:
- Действовали некоторые ограничения вида линейных неравенств или же неравенств в отношении переменных $x_1, x_2,…, x_n$.
- Линейная функция $f$ переменных являлась максимумом (минимумом).
Общая задача линейного программирования – это задача, где оптимизируемая функция цели является линейной комбинацией известных коэффициентов $c_j$ и неизвестных переменных $x_j$ вида:
Рисунок 1. Функция. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Функция $f$ также называется целевой функцией или же критерием эффективности.
Найти решение задачи линейного программирования означает отыскать значения переменных $x_j$, которые удовлетворяют ограничениям, а целевая функция при таких значениях принимает максимальное или минимальное значение.
5.Общая характеристика методов линейного программирования и их классификация.
Большое число экономических задач сводится к линейным математическим моделям. Оптимизационные линейные математические модели называют моделями линейного программирования. Термин появился в конце 30-х годов 20 века, когда программирование на компьютере ещё не было развито.
Линейное программирование – линейное планирование, то есть получение оптимального плана решения в задачах с линейной структурой.
Методы ЛП делятся на 2 группы:
1) группа симплексных методов (точные);
2) группа распределительных методов (точные и приближенные)
Приближенные позволяют получить только один из допустимых вариантов решения задач. Они используются для получения первого варианта в точных распределительных методах или для ручного решения задач.
Точные – методы перебора вариантов решения, в итоге дающие оптимальный вариант. Используются при машинном решении задач.
Каждая группа методов имеет свою базовую задачу. Для симплексных методов базовой является основная задача ЛП, для распределительных – транспортная задача.
Любая модель экономической задачи состоит из 3 частей:
1) целевая функция (критерий оптимальности) – описывается конечная цель, преследуемая при решении задач. В качестве такой цели может быть или максимум получения каких-нибудь показателей или минимум затрат.
2) система ограничений (основные и дополнительные). Основные, как правило, описывают расход основных производственных ресурсов. Это консервативная (неизменная) часть модели. Дополнительные могут иметь различный характер, являются изменяемой частью модели, отражают особенность моделирования задач. В модели основной задачи присутствуют основные ограничения.
3) условия неотрицательности переменных величин.
Основная задача лп. Её постановка и модель.
Пусть нек. Предприятие имеет m –видов произведенных ресурсов порядковый номер ресурсов i=1,m… Наличие каждого вида ресурсов известно и обозначается bi. Предположим, что предприятие может производить n-видов продукции порядковый номер продукции j=1,n… Необходимо определить какое количество единиц продукции каждого вида надо производить xj, чтобы получить максимум этой продукции стоимостном выражении если известно, что затраты на производство единицы продукции каждого вида ресурса aijи цена реализации cj. Любая модель эк.задачи состоит из 3 частей.
- Целевая функция описывается конечная цель преследуемая при решении задачи. В качестве такой цели м.б или максимум получение каких либо показателей или минимум затрат.
- Система ограничений. Основные описыв.расход основных производственных ресурсов это консервативная часть модели, т.е неизменная. В модели основные обязательства есть основные ограничения . Дополнительные могут иметь различный характер и являются изменяемой частью модели и отражает особенность моделир. Задач.
- Условие неотрицательности переменных величин.
А) целевая функция описывает выход продукции в стоимостном выражении
Б) система основных ограничений расход производственных ресурсов не должен превышать их наличие