Формула левых прямоугольников питон

Метод центральных прямоугольников на Python

Метод центральных прямоугольников – это численный метод для вычисления определенного интеграла функции на заданном интервале.

Он основан на том, что значение интеграла можно приближенно вычислить как площадь прямоугольника с высотой, равной значению функции в середине интервала, и шириной, равной длине интервала.

Для применения метода центральных прямоугольников интервал интегрирования разбивается на несколько равных отрезков, ширина каждого из которых равна ширине прямоугольника. Затем для каждого отрезка вычисляется значение функции в его центре, и интеграл на каждом отрезке приближенно вычисляется как площадь соответствующего прямоугольника.

Затем значения площадей прямоугольников суммируются, чтобы получить приближенное значение интеграла на всем интервале.

Преимущества и недостатки метода простых прямоугольников

Преимущества метода простых прямоугольников:

1. Простота: метод очень прост в использовании и не требует большого количества вычислительных ресурсов, что делает его доступным для решения различных инженерных и научных задач.
2. Универсальность: метод простых прямоугольников может быть применен для решения интегралов любой сложности и для любой функции.
3. Низкая погрешность: если функция на отрезке интегрирования достаточно гладкая, то метод простых прямоугольников может дать довольно точный результат.

Недостатки метода простых прямоугольников:

1. Низкая точность: метод простых прямоугольников дает только приближенный результат, который может иметь довольно большую погрешность, особенно если функция сильно меняется на интервале интегрирования.
2. Неэффективность: метод простых прямоугольников может потребовать большого количества вычислительных ресурсов при вычислении интегралов высокой сложности.
3. Ограниченность: метод простых прямоугольников не может быть применен для решения некоторых интегралов, которые не могут быть представлены в виде прямоугольников.

Решение интеграла по шагам на Python

• В первой строке импортируются необходимые библиотеки: NumPy и scipy.integrate . NumPy используется для создания массивов чисел, а scipy.integrate содержит метод quad для вычисления определенного интеграла.

import numpy as np import scipy.integrate as spi

• Далее определяется функция midpoint_rule , которая вычисляет приближенное значение определенного интеграла функции на отрезке [a, b] с использованием метода центральных прямоугольников с n интервалами. Входными параметрами функции являются функция, которую нужно проинтегрировать f , начало и конец отрезка a и b , а также количество интервалов n , на которые нужно разбить отрезок [a, b] для вычисления интеграла.

• Внутри функции сначала определяется длина интервала delta_x , на которые нужно разбить отрезок [a, b] для вычисления интеграла. Затем с помощью функции np.linspace создаётся массив x , состоящий из середин интервалов, на которые разбит отрезок [a, b]. Для этого используется формула (a + delta_x / 2, b — delta_x / 2, n) . Здесь a + delta_x / 2 – начало первого интервала, b — delta_x / 2 – конец последнего интервала, n – количество интервалов.

delta_x = (b - a) / n x = np.linspace(a + delta_x / 2, b - delta_x / 2, n)

• Затем с помощью функции f(x) вычисляются значения функции f в серединах интервалов, то есть y = f(x) .

• Приближенное значение интеграла вычисляется с помощью формулы integral = np.sum(y * delta_x) – суммы площадей прямоугольников, ограниченных значениями функции y и шириной интервала delta_x .

integral = np.sum(y * delta_x)

• Погрешность вычисления интеграла определяется с помощью формулы error = np.abs(integral — spi.quad(f, a, b)[0]) . Здесь используется встроенная функция quad библиотеки scipy.integrate для точного вычисления значения интеграла на заданном отрезке. Разность между приближенным значением интеграла и точным значением интеграла на заданном отрезке вычисляется с помощью функции np.abs .

error = np.abs(integral - spi.quad(f, a, b)[0])

Функция midpoint_rule возвращает приближенное значение определенного интеграла и погрешность

Результат вычисления интеграла по формуле центральных прямоугольников

Для начала зададим начальные данные в нашу программу, чтобы ей было с чем работать:

f = lambda x: x # функция, которую нужно проинтегрировать a = 0.5 # начало отрезка b = 1 # конец отрезка n = 5 # количество интервалов integral, error = midpoint_rule(f, a, b, n)

Полный код метода центральных прямоугольников на Python

import numpy as np import scipy.integrate as spi def midpoint_rule(f, a, b, n): """ Вычисляет приближенное значение определенного интеграла функции на отрезке [a, b] с использованием метода центральных прямоугольников с n интервалами. f: функция, которую нужно проинтегрировать a: начало отрезка b: конец отрезка n: количество интервалов Возвращает приближенное значение определенного интеграла и погрешность. """ delta_x = (b - a) / n # длина интервала x = np.linspace(a + delta_x / 2, b - delta_x / 2, n) # середины интервалов y = f(x) # значения функции в серединах интервалов integral = np.sum(y * delta_x) # приближенное значение интеграла error = np.abs(integral - spi.quad(f, a, b)[0]) # погрешность return integral, error # Пример использования функции f = lambda x: x # функция, которую нужно проинтегрировать a = 0.5 # начало отрезка b = 1 # конец отрезка n = 5 # количество интервалов integral, error = midpoint_rule(f, a, b, n) print("Приближенное значение интеграла:", integral) print("Погрешность:", error)

Источник

Метод прямоугольников в Python

Метод прямоугольников — это численный метод для приближенного вычисления определенных интегралов. Он заключается в разбиении области интегрирования на прямоугольники и вычислении суммы их площадей. В данной статье мы рассмотрим реализацию данного метода на языке программирования Python.

Реализация метода прямоугольников на Python

def rectangle_method(f, a, b, n): h = (b - a) / n s = 0 x = a for i in range(n): s += f(x) x += h return s * h 

Описание функции

• f — функция, интеграл которой нужно вычислить;
• a и b — границы интегрирования;
• n — количество прямоугольников для разбиения области интегрирования.

Пример использования

Например, найдем приближенное значение интеграла функции f(x) = x^2 на отрезке [0, 3] с разбиением на 100 прямоугольников:

def f(x): return x**2 a = 0 b = 3 n = 100 result = rectangle_method(f, a, b, n) print("Приближенное значение интеграла:", result) 

Выполнение данного кода выведет на экран приближенное значение интеграла функции f(x) = x^2 на заданном отрезке.

• Получить ссылку
• Facebook
• Twitter
• Pinterest
• Электронная почта
• Другие приложения

Комментарии

Отправить комментарий

Популярные сообщения

Python вывести количество элементов списка

Python: Вывод количества элементов списка В этой статье мы рассмотрим как выводить количество элементов списка с помощью языка программирования Python. Использование функции len() Для определения количества элементов в списке в Python, используйте встроенную функцию len() . my_list = [1, 2, 3, 4, 5] elements_count = len(my_list) print(«Количество элементов в списке:», elements_count) Этот код создает список my_list , а затем использует функцию len() для подсчета элементов в списке. Результат будет выведен на экран. Использование цикла for Если вы хотите подсчитать количество элементов списка без использования функции len() , вы можете использовать цикл for . my_list = [1, 2, 3, 4, 5] elements_count = 0 for _ in my_list: elements_count += 1 print(«Количество элементов в списке:», elements_count) В этом примере мы инициализируем переменную elements_count значением 0, а затем для каждого элемента в списке увел

Как сделать шашки на python

Как сделать шашки на Python Как сделать шашки на Python В этой статье мы рассмотрим, как создать простую игру в шашки на Python с использованием библиотеки Pygame. Подготовка Для начала установите библиотеку Pygame, используя следующую команду: pip install pygame Создание доски import pygame pygame.init() WIDTH, HEIGHT = 800, 800 ROWS, COLS = 8, 8 SQUARE_SIZE = WIDTH // COLS WHITE = (255, 255, 255) BLACK = (0, 0, 0) RED = (255, 0, 0) BLUE = (0, 0, 255) def draw_board(win): win.fill(WHITE) for row in range(ROWS): for col in range(row % 2, COLS, 2): pygame.draw.rect(win, BLACK, (row * SQUARE_SIZE, col * SQUARE_SIZE, SQUARE_SIZE, SQUARE_SIZE)) def main(): win = pygame.display.set_mode((WIDTH, HEIGHT)) pygame.display.set_caption(«Checkers») clock = pygame.time.Clock() run = True while run: clock.tick(60) for event in pygame.event.get(): if event.ty

Python как перевести число в другую систему счисления

Преобразуйте числа как профессионал! Узнайте, как Python может перевести любое число в любую систему счисления. Даже если вы никогда раньше не сталкивались с программированием, эта статья поможет вам стать экспертом в считывании двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел. Не пропустите возможность раскрыть секреты произвольной системы счисления в Python! Python: Перевод числа в другую систему счисления В языке программирования Python преобразование числа в другую систему счисления может быть выполнено с использованием встроенных функций и методов. Преобразование чисел в двоичную систему Python предоставляет встроенную функцию bin() для преобразования числа в двоичную систему. # Пример преобразования числа в двоичную систему num = 18 binary_num = bin(num) print(binary_num) # Вывод: 0b10010 Преобразование чисел в восьмеричную систему Функция oct() в Python преобразует число в восьмеричную систему. # Пример преобразования числа в восьмеричную систему num = 18

Источник

Численное интегрирование в питоне

Привет. Мне необходимо сделать программу вычисления определённого интеграла sin(x)/x с приделами интегрирования от 1 до 10. Нужно решить методом прямоугольников (левых) с точностью 0,001.

Шаг разбиения вычисляется так: h = (b — a) / n где a и b = 1 и 10, n = количество разбиений (сначала 2, потом 4, 8, 16. ). Код нужно будет объяснить СИшнику, который в глаза не видел питон, поэтому желательно сделать максимально по «сишному». Вот написал примерный алгоритм на питоне3, но он выдаёт непредсказуемый результат. Когда онлайн калькулятор выводит 0.71. Спасибо

from math import sin import numpy as np def func(x): return sin(x) / x n = 2 # Текущая точность a = 1 b = 10 Si = [] print("Интегрируемая функция: f(x) = sin(x) / x") print("Точность: 0.001") def work(n): xi = [] # массив с точками разбиений print("Текущее число разбиений", n) h = (b - a)/n # Шаг print("Текущий шаг: ", h) for x in np.arange(a, b, h): # заносим в массив xi текущие точки для разбиения xi.append(func(x)) print("Значения выбранных точек: ", xi) sum = 0 for i in xi: sum += h * func(i) tmp_otvet = h * sum # вычисление по формуле левых прямоугольниках print("Текущий результат: ", tmp_otvet) if n == 2: # Если запустили в первый раз, то точность не высчитываем Si.append(tmp_otvet) # В список Si скапливаем результаты вычислений work(4) # запускаем рекурсию else: if abs(Si[-1] - tmp_otvet) < 0.001: # если необходимая точность достигнута, то выводим ответ otvet(tmp_otvet, n) else: Si.append(tmp_otvet) # Иначе запускаем рекурсию с увеличенным вдвое числом разбиений work(n * 2) def otvet(S, n): print("___________") print("Результат: ", S) print("Число разбиений: ", n) exit(0) work(2) 

Ответы (1 шт):

from math import sin def work(f, a, b, n): print("\nТекущее число разбиений: ", n) h = (b-a)/float(n) print("Текущий шаг:", h) total = sum([f((a + (k*h))) for k in range(0, n)]) result = h * total print("Текущий результат: ", result) return result def f(x): return sin(x)/x print("Используем формулу левых прямоугольников") print("Интегрируемая функция: f(x) = sin(x) / x") print("Точность: 0.001") n = 2 a1 = work(f, 1, 10, n) n *= 2 a2 = work(f, 1, 10, n) while abs(a1 - a2) > 0.001: n *= 2 a1 = work(f, 1, 10, n) n *= 2 a2 = work(f, 1, 10, n) print("\nОтвет:", a2, "\nКоличество разбиений:", n) 

Источник