Экономико-математические методы
Исследования различных процессов, в т.ч. и экономических, как правило, начинается с их моделирования, то есть отражение реального процесса через математическое соотношение. При этом составляют уравнения или неравенства, которые связывают различные показатели процесса, исследуется и составляют систему ограничений. В этих соотношениях выделяют такие переменные, превращая которые можно получить оптимальное значение основного показателя всей системы (прибыль, доход, затраты). Соответствующие методы обобщаются под названием «математическое программирование» или «методы исследования операций».
Наиболее широкое применение в экономике находят следующие методы:
— Линейное программирование, позволяющее сформулировать задачу оптимизации в виде линейных ограничений и линейной целевой функции;
— Динамическое программирование, рассчитанное на решение многоступенчатых задач оптимизации;
— Целочисленное программирование, которое позволяет решить оптимизационные задачи, в том числе задачи оптимального распределения ресурсов.
Понятие и область применения
Линейное программирование является разделом математического программирования, дисциплины, посвященной теории и методам решения задач нахождения экстремума функции от многих переменных, на которые накладываются линейные или нелинейные ограничения. Когда целевая функция и ограничения направлены на сменные линейные, то имеем наиболее разработанное на практике линейное программирование.
Линейное программирование как наиболее благоприятный (маленькие затраты, максимальные прибыли и т.д., при прочих равных условиях) математический метод среди других альтернативных решений применяется для решения таких экономических проблем, как разработка наиболее выгодного ассортимента при ограниченных ресурсах, расчет оптимальной величины товарных запасов, планирование маршрутов движения сбытовых агентов, выбор производственной программы, планирование перевозок (транспортная задача).
Рассмотрим применение линейного программирования в процессе внутреннего планирования работы предприятия на примере типовой задачи об использовании и оценку ресурсов.
Концептуальный подход
Пусть на выпуск п видов продукции П . ПП расходуется т видов ресурсов (сырье, материалы, трудовые ресурсы и т.д.) А . Ат. Известны расходы а., Ресурсов / -го вида на единицу продукции у’-го вида, объем Ь, ресурсов i-го вида и величина прибыли с. от реализации единицы продукции .и-го вида. Надо так организовать выпуск продукции, исходя из имеющихся ресурсов, чтобы получить наибольшую прибыль. Данные задачи записываем в таблицу 10.3.
Для решения задачи составляют ее математическую модель, то есть выражаем условия задачи в математической форме. Введем искомые неизвестные хг..хп — количества единиц выпущенной продукции в соответствии видов ПГ..П.
Неизвестные хг..хп должны удовлетворять такую систему неравенств:
Каждая из неравенств показывает, что фактические расходы соответствующего вида. ресурсов не должны превышать имеющийся его объем. Исходя из экономического содержания задачи, неизвестные хґ..хя могут приобретать только неотъемлемых значений, то есть:
Прибыль от выпуска всей продукции составляет:
Общие характеристики
Решение задач внутреннего планирования работы предприятия в основном базируется на применении симплекс-метода. Этот метод был разработан в конце 40-х годов американским математиком Данцигом и может быть использован для решения комплекса задач: формирование специфической годовой производственной программы выпуска предприятием, план загрузки различных групп оборудования, календарное распределение производственной программы выпуска, распределение годовой программы выпуска по кварталам, месяцам , декадам.
Основная идея симплекс-метода заключается в следующем:
1) принимается за основу один из возможных программ — опорный план;
2) осуществляется его пошаговое улучшение, пока не будет получен оптимум по определенной критериальной функцией.
Таким образом, проблема заключается в определении опорного варианта программы и нахождения способа улучшения последнего. При этом для формирования первоначального варианта программы создается как запас, возможность реализации в виде резервов тех ресурсов, которые регламентируются в конкретной производственной ситуации. В процессе преобразований (итераций) одни переменные переводятся в план, другие — исключаются из него. С каждым шагом план приближается к оптимальному и в конечном итоге приходит к нему, если в условиях задачи нет противоречий.
Решение задач симплекс-методом предполагает выполнение следующих процедур (рис. 10.3).
Для конкретного предприятия можно сформировать различные варианты плана производства. При этом необходимые для его выполнения ресурсы и полученные от его реализации результаты будут разными. Один вариант плана с точки зрения достижения величины любого из показателей или соблюдение выполнения определенных условий будет лучше, а другой — хуже.
Необходимым условием постановки задачи линейного программирования ограничения на имеющиеся ресурсы, на величину спроса на производственную мощность и другие факторы. Другим условием постановки и решения плановой задачи методами линейного программирования является выбор критерия оптимальности плана, выраженный количественно.
Критерий оптимальности должен удовлетворять следующим требованиям: 1) быть единственным, то есть одним для данной задачи; 2) количественно измеримым. И, наконец, важным условием является линейная зависимость между различными неизвестными величинами (переменными), используемых в задаче.
Рис. 10.3. Процедуры симплекс-метода
Пример применения
Торговое предприятие для продажи товаров трех видов использует следующие ресурсы: нас и площадь торговых залов. Расходы ресурсов на продажу одной партии товаров каждого вида приведены в таблице 10.4.
Прибыль, полученная от реализации одной партии товаров и вида, составляет 500 тыс. Грн., 11 вида — 800 тыс. Грн., А 111 вида — 600 тыс. грн. Определить оптимальную структуру товарооборота, которая обеспечит максимальную прибыль.
Для решения задачи нужно: 1) построить математическую модель задачи; 2) найти решение задачи симплекс-методом; 3) дать экономическую интерпретацию полученного оптимального плана.
Итак, построим математическую модель этой задачи:
Пусть хр х2, х3 — количество партий продажи товара в соответствии I, II и III видов; aZ- структура товарооборота, обеспечивающий максимальную прибыль от реализации (целевая функция). Отсюда получаем систему неравенств:
Кроме того, целевая функция стремится к максимуму:
Для нахождения решения системы неравенств с учетом оптимальности целевой функции приведем задачу линейного программирования (ЗЛП) к каноническому виду таким образом, чтобы свободные члены в ограничениях (1.1) были положительными и система неравенств заменилась системой эквивалентных уравнений. Для этого добавим к левой части неровностей дополнительные неотъемлемые переменные х4, х5. Итак, ЗЛП будет выглядеть так:
Далее построим первую симплексную таблицу для этой системы уравнений, в которую запишем ее данные (табл. 10.5).
Охарактеризуем условные обозначения, приведенные в таблице. В колонке С.баз содержатся коэффициенты целевой функции при базисных переменных, в столбце х.баз — обозначение базисных переменных, в столбце ЬИ — свободные члены ограничений. Значение С ^ можно получить добавлением порядковых произведений элементов колонки С1бази столбиках и вычитанием коэффициента С ^ он записывается в таблице над обозначением «х». соответствующей переменной).
Выберем самую по модулю отрицательную оценку 2.-С. в нижней строке: это будет столбик х2 (-800). Эта колонка будет иметь значение решающих колонки. Найдем отношение элементов столбца свободных членов Ь. до положительных элементов решающих столбца, запишем результаты в правый столбик й и и выберем из них минимальный Qimin (370 / 0,5, 90 / 0,1) = 900. Итак, на пересечении решающих столбца и строки находится решающих элемент а = 0,3.
Теперь определим элементы следующей таблицы по таким правилам. На место элемента х, столбца базисных переменных запишем переменную х решающих столбца таблицы 10.1. В таблице 10.2 на место решающих элемента запишем единицу. Все остальные элементов решающих столбца позаминюемо на 0. Все остальные элементы решающих строки поделим на решающих элемент и запишем на соответствующие места таблицы 10.6 новые числа (1/3; 2/3; 0; 10/3, 90 / 3).
Столбцы, которым соответствуют одинаковые базисные переменные таблиц 10.1 и 10.2 (в нашем случае х ^) остаются неизменными. Незаполненные клетки перечисляются по правилу прямоугольника: каждый элемент равен деленной на решающих элемент разницы произведения этого элемента на решающих элемент и произведение элементов, расположенных в основах перпендикуляров, проведенных от этого элемента в решающих столбца и строки. Таким образом, имеем для элемента, например: