Дзета-функция Римана
Сосчитайте сумму обратных квадратов (обратный квадрат числа k — это число 1/k2) первых n натуральных чисел (n вводит пользователь). Поделите квадрат числа (где — отношение длины окружности к её диаметру) на эту сумму и выведите результат. Точность ответа должна быть не менее 10 знаков после запятой.
Взгляните, к какому числу приближается результат с ростом n.
Формат ввода
Вводится одно натуральное число n, n≤1300000.
Формат вывода
Выводится одно действительное число, согласно условию.
Число Пи и дзета-функция
Написать программу на питоне для решения задачи. Вычислите значение дзета-функции для числа 2: .
Горы в галактике Дзета
Условие Известно, что некоторая галактика Дзета состоит из планет, поверхность которых является.
Дзета-функция Римана
Обьясните, пожалуйста, как можно более подробно, как доказать следующее:
Тривиальные нули дзета-функции Римана
Здравствуйте! Занимаюсь распределением простых чисел. Много написано, что это связано с.
Связь дзета-функции Римана с натуральным логарифмом
Вы заметили, что ζ(x) ≈ x/log(x) ⇒ ζ(x) = x/log(x)-C при x→1, где x ∈ ℝ \ ? То, что.
import math n = int(input()) k = 0 for i in range(1,n+1) : k = k + i**-2 print(math.pi**2/k)
Добавлено через 2 минуты
hashell, можешь вообще задачу объяснить, что сделать нужно. я не понял просто.
N**-2 = 1/n^2
Поделите квадрат числа(это число пи) на эту сумму. => пи^2 / ( 1**-2 + 2**-2 . n**-2)
Добавлено через 1 минуту
msmmm, что надо было сделать, чтобы получить репутацию — 36?
n = int(input()) a = 0 p = 3.141592653589793 for i in range(1, n + 1): a += 1 / (i ** 2) print((p ** 2) / a)
pi = 3.141592653589793 n = int(input()) summ_obr_kv = 0 for j in range(1, n + 1): obr_kv = 1 / (j ** 2) summ_obr_kv += obr_kv kv_pi = pi ** 2 itog = kv_pi / summ_obr_kv print(itog)
Дзета-функция
Объясните, пожалуйста, как можно более подробно, как тут установить равенство?
Ряды Дирихле и Дзета функция. Как доказывать данные тождества?
Подскажите, пожалуйста, как доказывать данные тождества. Понимаю, что здесь используются свёртки и.
Доказать, что функция Римана интегрируема на любом отрезке
Функцией Римана называется функция, равная 1/q в каждой рациональной точке, которая записана в виде.
Доказать, что непрерывная функция имеет интеграл римана
доказать что непрерывная на отрезке функция имеет на нем интеграл римана. для этого надо доказать.
Применяя условия Коши-Римана, выяснить, дифференцируема ли функция
Применяя условие Коши Римана выяснить дифференциируема ли функция f(z): f(z)= x^3 — 3xy^2+i(3x^2.
Анализ дзета-функции Римана
В одном из разделов математики существует достаточно забавная задача про сумму чисел, связанных с натуральным рядом, и на первый взгляд кажется, что она достаточно проста, но при более глубоком погружении в тематику, приходит ощущение полной беспомощности.
Вся моя жизнь неразрывно связана с математикой. В голове постоянно рождаются мысли: «Почему именно так и какое этому объяснение?». Мне нравится находить разные способы решения интересных задач.
Так в школьные годы после темы про квадратные уравнения у меня сразу появился ряд вопросов: есть ли альтернативные варианты и как будет выглядеть решение для уравнения высших степеней?
На первый вопрос достаточно быстро был получен утвердительный ответ — да, может.
Разность корней квадратного уравнения можно выразить с помощью теоремы Виета, выполнив несложные преобразования.
Кстати, а вы знали, что корни многочленов -ой степени образуют поле? 😉
Дальнейшее углубление в теорию решений уравнений высших степеней открывало бесконечно много новых знаний в тех областях, о которых я даже и не подозревал.
В результате ряда рассуждений стало понятно, что существуют некоторые преобразования над набором корней уравнений, которые могут давать интересные результаты, и с их помощью можно быстро и эффективно решать уравнения для степени меньше 5.
Я узнал о теории Галуа, теореме Абеля-Руффини, и т.д.
Информацию пришлось переваривать в течение нескольких лет.
В студенческие годы на одной из скучных лекций я упражнялся с суммой различных степеней натурального ряда (до определенного значения ) и заметил одну закономерность, что слагаемое с максимальной степенью всегда выражается как .
Сразу возник вопрос: «Можно ли как-то использовать интеграл?».
Ответ не заставил себя долго ждать, и к концу пары было готово решение для любого .
Я захотел получить аналогичную формулу и для отрицательных , но все попытки заканчивались неудачей. Так состоялось моё первое знакомство с дзета-функцией.
Недавно мне на глаза попалась публикация о нетривиальных нулях дзета-функции Римана.
Так как доказательство гипотезы Римана является нерешенной проблемой тысячелетия, многие пытаются к ней подступиться, и периодически в разных источниках появляется информация о ее доказательстве либо опровержении. Но до сих пор ни одно из доказательств не было принято официальным математическим сообществом.
Тогда я решил разобраться и попытаться найти возможные пути решения гипотезы Римана.
Так как ранее у меня уже был опыт работы с бесконечными суммами, по наивности я решил, что это не должно быть очень сложно 😉
Что же с этой проблемой не так, если ее не могут решить на протяжении тысячелетия?
Обложившись справочным материалом, я начал вникать в проблему и изучать подходы, используемые при доказательстве. Большинство доказательств строилось на применении интегралов или специфических функций (например, функция Тодда).
На глаза попадались как совсем откровенные ляпы, так и очень сложные работы на несколько десятков страниц, погружение в которые могло занять не меньше месяца вдумчивого чтения.
Объём информации рос, а понимание, как подойти к проблеме или предположить, какой метод можно применить, чтобы приблизиться к решению, не приходило.
И тогда я решил отложить чтение профильной литературы.
Как-то часа в 3 ночи (после вечернего кофе) мне в голову пришла одна на мой взгляд очень простая и интересная последовательность действий, которая ведет к доказательству, ей я и хочу с вами поделиться.
Внесу пару уточняющих моментов:
- Некоторые промежуточные расчеты и выводы я намеренно опускаю, чтобы не перегружать читателя
- По этой же причине я намеренно опускаю ряд специфических понятий
- Читатель должен быть знаком с матанализом и комплексными числами
- Все мои рассуждения могут оказаться неверными
Сначала определимся, что нужно доказать и что для этого у нас дано.
Необходимо доказать, что все комплексные нули дзета-функции должны иметь вид: .
Определим, что такое дзета-функция.
Начнём наш путь с Эйлера, так как он впервые определил дзета-функцию для действительных чисел
(далее по тексту — функция)
Из профильной литературы известно, что для всех выше обозначенных функция сходится абсолютно.
1. Titchmarsh and D. R. Heath-Brown, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Second Edition, стр. 1, выражение (1.1.1)
Также Эйлером была введена знакочередующаяся эта — функция.
(далее по тексту — функция)
Бернхард Риман определил — функцию для комплексного переменного.
Чтобы продолжить функцию на комплексную плоскость для любого , , проделаем пару фокусов с функцией Эйлера, разбив ее на сумму по чётным и нечётным .
Тогда — функция будет выражаться, как сумма нечётных и чётных
А — функция будет выражаться, как разница нечётных и чётных
Вычтем из — функции — функцию, тогда получим
Известно, что
Сходится абсолютно, это следует из интегрального теста.
Разобьем сумму на четные и нечетные , тогда
Тогда
Сходится абсолютно, так как
Теперь можем произвести перегруппировку по четным и нечетным, тогда
Также отмечу, что есть особые точки — нули уравнения , которые устранимы.
Выразим — функцию через — функцию
Это связь нам пригодится в дальнейшем.
Из профильной литературы известно, что в нулях — функции — функция также обращается в нуль.
1. Titchmarsh and D. R. Heath-Brown, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Second Edition, стр. 16, выражение (2.2.1)
Из формулы Эйлера — Маклорена, следует, что при
1. Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann, стр. 294
2. Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, стр: 56,269,270
Выразим — функцию через чётные и
Выразим — функцию через нечётные и
Тогда, используя (4), запишем
Сложим первый и последний предел, получим
Тогда в нулях
(далее по тексту это выражение будет часто употребляться, в нулях означает, что — нуль — функции)
Используя (5) (6), заметим, что в нулях
Используя (7), заметим, что
Применим правило Лопиталя, тогда
Умножим последние два предела, получим
Тогда, используя (8), в нулях можно записать равенство
Из профильной литературы известно, что
Используя (9), запишем равенство в нулях
Тогда в нулях должно также выполняться равенство
Упростим выражение и запишем его в следующем виде
Положим и запишем модули каждого из сомножителей
Используем формулу Эйлера для косинуса, получим
Исходя из монотонности функций и , , заметим, что предел модуля произведения выражения с экспонентой при равен константе
Рассмотрим квадрат модуля функции (11)
Заметим, что монотонна для и зависит от .
Запишем интервалы возрастания и убывания функции , для ,
Тогда является единственной точкой, где значение функции отлично от нуля и принимает константное значение для .
Следовательно, для , применяя (11.1) можно использовать следующее выражение
1. Bateman, Harry (1953) Higher Transcendental Functions, Volumes I, стр. 47, выр. (6)
2. Bateman, Harry (1953) Higher Transcendental Functions, Volumes I, стр. 3, выр. (6)
Тогда, используя (11.3) перепишем (11) в следующем виде
Заметим, что (12) представляет собой периодическую функцию, верхняя и нижняя границы которой будут равны
Для того, чтобы выражение (12) было равно 1, нужно, чтобы верхняя и нижняя граница были равны 1.
Из профильной литературы известно, что любой нетривиальный нуль — функции имеет действительную часть .
Тогда запишем варианты пределов для верхней и нижней границ при ,
Как видно, нам подходит только вариант и только в этом случае возможно соблюдение равенства (11) в нулях.
Следовательно, все комплексные нули — функции имеют вид: .
Что и требовалось доказать.
Дзета-функции для числа 2. Не могу разобраться
Функции и файлы! Для продвинутых, я не могу разобраться.
Есть ли тут профи, которые смогут мне помочь, плз? Квадратная матрица действительных чисел.
Тривиальные нули дзета-функции Римана
Здравствуйте! Занимаюсь распределением простых чисел. Много написано, что это связано с.
Связь дзета-функции Римана с натуральным логарифмом
Вы заметили, что ζ(x) ≈ x/log(x) ⇒ ζ(x) = x/log(x)-C при x→1, где x ∈ ℝ \ ? То, что.
Сообщение было отмечено Venom_Gamer как решение
Решение
Насколько я понял твой код, то функция на 2 скрине умножается на 6 не весь ряд, а только первая дробь.
Также на скринах вычисляется не , а
Добавлено через 3 часа 8 минут
Вот решение.
Переменная terms — сколько членов ряда суммируем.
Подставлял разные значения, в том числе terms = 1000000, всё работает.
import math terms = 10 a = 0 for i in range (1, terms+1): a += 1 / i ** 2 b = math.sqrt(6 * a) print(b)
Не могу разобраться с массивами и вызовом функции из функции
Доброй ночи. Просидел сегодня с 3 дня так и ничего не вышло. уже как не пытался, что не делал не.
Задали работу, не могу разобраться. Используется делфи 10, не могу разобраться, как это сделать
В одномерном массиве, состоящем из n вещественных элементов, вычислить: минимальный элемент массива.
Не могу разобраться в функции
Функция filter() ищет элементы в исходном контейнере, значения которых соответствуют условию.
не могу разобраться в функции
нашел в инете функцию добавление в список, но не могу разобраться что означает переменная link .
Не могу разобраться с указателями на функции
Совершенно не понял задание(особенно непонятно зачем нужен arithmeticFcn и как его реализовать для.