Численное интегрирование метод прямоугольников python

Численные методы

Численные методы – методы решения математических задач в численном виде. Один из самых популярных языков программирования для решения подобных задач используется Python. Поэтому под численные методы на Python выделена целая категория на нашем сайте.

Интерполяция функций методом Ньютона на Python

Интерполяция функций методом Ньютона – это метод численного аппроксимирования функции на основе набора заданных точек, которые должны лежать на кривой функции. Идея метода состоит в том, чтобы построить полином низкой степени, который проходит через все заданные точки. Метод Ньютона для интерполяции функций использует формулу Ньютона-Грегори (или формулу Ньютона разделенных разностей), которая позволяет находить значения полинома … Читать далее

Квадратичное аппроксимирование функций на Python

Квадратичное аппроксимирование таблично заданной функции является задачей оптимизации, которая может быть решена с помощью метода наименьших квадратов. Для этого нужно найти квадратичную функцию, которая наилучшим образом приближает исходную функцию. Для начала, давайте определимся с тем, как мы будем представлять нашу таблично заданную функцию. Для этого мы будем использовать два списка: список значений x и список … Читать далее

Метод Симпсона для вычисления интегралов на Python

Метод Симпсона – это численный метод вычисления определенных интегралов от функций, которые могут быть приближены квадратичным полиномом. Интеграл можно представить в виде площади под кривой функции на определенном интервале, которую можно разбить на маленькие прямоугольники. Метод Симпсона основан на том, что площадь под кривой можно приблизить площадью параболы, которая проходит через три точки: начальную, конечную … Читать далее

Метод трапеций для вычисления определённых интегралов

Метод трапеций – это численный метод для вычисления определенного интеграла функции. Он основан на аппроксимации подынтегральной функции на каждом отрезке интегрирования линейной функцией, т.е. использовании трапеций для приближенного вычисления интеграла. Формула метода трапеций Формула метода трапеций для интегрирования функции f(x) на отрезке [a,b] имеет вид: ∫[a,b] f(x) dx ≈ (b-a) * (f(a) + f(b)) / … Читать далее

Метод Гаусса Чебышева для вычисления определённого интеграла

Метод Гаусса-Чебышева является одним из численных методов для вычисления определенного интеграла. Он основывается на аппроксимации подынтегральной функции с помощью полиномов Чебышева и интегрирования этой аппроксимирующей функции на заданном интервале. Этот метод имеет преимущества перед другими методами численного интегрирования, так как он достигает высокой точности с меньшим числом вычислений функции f(x). Решение определённого интеграла на Python … Читать далее

Метод центральных прямоугольников на Python

Метод центральных прямоугольников – это численный метод для вычисления определенного интеграла функции на заданном интервале. Он основан на том, что значение интеграла можно приближенно вычислить как площадь прямоугольника с высотой, равной значению функции в середине интервала, и шириной, равной длине интервала. Для применения метода центральных прямоугольников интервал интегрирования разбивается на несколько равных отрезков, ширина каждого … Читать далее

Метод простых итераций на Python

Метод простых итераций (или метод последовательных приближений) – это численный метод для решения нелинейных уравнений. Он основан на преобразовании уравнения к эквивалентному виду, который имеет фиксированную точку, т.е. решение уравнения является неподвижной точкой этого преобразования. Алгоритм метода простых итераций Пусть дано нелинейное уравнение вида f(x) = 0, где f(x) – некоторая функция. Метод простых итераций … Читать далее

Метод Ньютона, решение нелинейных уравнений на Python

Метод Ньютона, также известный как метод касательных, является численным методом для нахождения корня нелинейного уравнения. Он основан на идее использования локального линейного приближения функции в окрестности предполагаемого корня для последующего уточнения его координат. Алгоритм метода Ньютона для решения нелинейных уравнений Процесс решения нелинейного уравнения методом Ньютона состоит из следующих шагов: Преимущества и недостатки метода Ньютона … Читать далее

Метод секущих на Python

Метод секущих – это численный метод решения нелинейных уравнений, который использует линейную аппроксимацию функции на интервале итерации, чтобы находить приближенное решение уравнения. В данной статье мы реализуем алгоритм метода секущих на языке программирования Python и по шагам разберём решение. Метод секущих начинается с двух начальных точек x0 и x1, которые выбираются достаточно близко друг к … Читать далее

Метод половинного деления на Python

Метод половинного деления (метод бисекции или дихотомии) – это численный метод решения нелинейных уравнений, который основан на принципе перехода через точку пересечения графика функции с осью абсцисс. Алгоритм метода половинного деления (дихотомии) Процесс решения начинается с выбора отрезка [a, b], содержащего корень уравнения. Затем находим среднюю точку m = (a + b) / 2 и … Читать далее

Решение нелинейных уравнений методом хорд на Python

Метод хорд – это итерационный численный метод, который используется для приближенного решения нелинейных уравнений. Этот метод является одним из простейших методов решения нелинейных уравнений и находит свое применение в различных областях, таких как математика, физика, инженерия, экономика и т.д. Метод хорд основывается на идее линейной интерполяции между двумя точками на графике функции. Для применения метода … Читать далее

Метод Зейделя для решения СЛАУ на Python

Метод Зейделя – это итерационный метод решения систем линейных уравнений (СЛАУ), который является улучшением метода простых итераций. В методе Зейделя для нахождения решения системы линейных уравнений используется последовательное приближение. Изначально задается начальное приближение для решения системы. Затем производятся итерации, на каждом шаге которых вычисляется новое приближение решения. На каждой итерации метода Зейделя, значения неизвестных изменяются … Читать далее

Метод Крамера на Python для решения СЛАУ.

Метод Крамера – это метод решения системы линейных уравнений (СЛАУ), который основан на использовании определителей. Метод Крамера заключается в следующих шагах: Если определитель матрицы коэффициентов A равен нулю, то метод Крамера не применим. Кроме того, этот метод не является эффективным для больших систем, так как требует множества вычислений определителей. Решение СЛАУ методом Крамера по шагам. … Читать далее

Решение СЛАУ на Python, метод Якоби

Метод Якоби – это один из классических методов решения систем линейных уравнений, который был разработан немецким математиком Карлом Густавом Якоби. Он является итерационным методом, то есть решение системы находится путем последовательного приближения к точному решению. Метод Якоби имеет широкое применение в различных областях науки и инженерии, таких как физика, экономика, статистика и технические науки. В … Читать далее

Метод простых итераций на Python

Метод простых итераций – это итерационный метод для решения систем линейных уравнений, который заключается в последовательном приближении к решению исходной системы путем повторения одного и того же алгоритма. Алгоритм метода простых итераций для системы линейных уравнений AX=B следующий: Когда необходимо применять метод итераций? Метод итераций обычно применяется в случаях, когда матрица системы является разреженной или … Читать далее

Источник

Метод центральных прямоугольников на Python

Метод центральных прямоугольников – это численный метод для вычисления определенного интеграла функции на заданном интервале.

Он основан на том, что значение интеграла можно приближенно вычислить как площадь прямоугольника с высотой, равной значению функции в середине интервала, и шириной, равной длине интервала.

Для применения метода центральных прямоугольников интервал интегрирования разбивается на несколько равных отрезков, ширина каждого из которых равна ширине прямоугольника. Затем для каждого отрезка вычисляется значение функции в его центре, и интеграл на каждом отрезке приближенно вычисляется как площадь соответствующего прямоугольника.

Затем значения площадей прямоугольников суммируются, чтобы получить приближенное значение интеграла на всем интервале.

Преимущества и недостатки метода простых прямоугольников

Преимущества метода простых прямоугольников:

1. Простота: метод очень прост в использовании и не требует большого количества вычислительных ресурсов, что делает его доступным для решения различных инженерных и научных задач.
2. Универсальность: метод простых прямоугольников может быть применен для решения интегралов любой сложности и для любой функции.
3. Низкая погрешность: если функция на отрезке интегрирования достаточно гладкая, то метод простых прямоугольников может дать довольно точный результат.

Недостатки метода простых прямоугольников:

1. Низкая точность: метод простых прямоугольников дает только приближенный результат, который может иметь довольно большую погрешность, особенно если функция сильно меняется на интервале интегрирования.
2. Неэффективность: метод простых прямоугольников может потребовать большого количества вычислительных ресурсов при вычислении интегралов высокой сложности.
3. Ограниченность: метод простых прямоугольников не может быть применен для решения некоторых интегралов, которые не могут быть представлены в виде прямоугольников.

Решение интеграла по шагам на Python

• В первой строке импортируются необходимые библиотеки: NumPy и scipy.integrate . NumPy используется для создания массивов чисел, а scipy.integrate содержит метод quad для вычисления определенного интеграла.

import numpy as np import scipy.integrate as spi

• Далее определяется функция midpoint_rule , которая вычисляет приближенное значение определенного интеграла функции на отрезке [a, b] с использованием метода центральных прямоугольников с n интервалами. Входными параметрами функции являются функция, которую нужно проинтегрировать f , начало и конец отрезка a и b , а также количество интервалов n , на которые нужно разбить отрезок [a, b] для вычисления интеграла.

• Внутри функции сначала определяется длина интервала delta_x , на которые нужно разбить отрезок [a, b] для вычисления интеграла. Затем с помощью функции np.linspace создаётся массив x , состоящий из середин интервалов, на которые разбит отрезок [a, b]. Для этого используется формула (a + delta_x / 2, b — delta_x / 2, n) . Здесь a + delta_x / 2 – начало первого интервала, b — delta_x / 2 – конец последнего интервала, n – количество интервалов.

delta_x = (b - a) / n x = np.linspace(a + delta_x / 2, b - delta_x / 2, n)

• Затем с помощью функции f(x) вычисляются значения функции f в серединах интервалов, то есть y = f(x) .

• Приближенное значение интеграла вычисляется с помощью формулы integral = np.sum(y * delta_x) – суммы площадей прямоугольников, ограниченных значениями функции y и шириной интервала delta_x .

integral = np.sum(y * delta_x)

• Погрешность вычисления интеграла определяется с помощью формулы error = np.abs(integral — spi.quad(f, a, b)[0]) . Здесь используется встроенная функция quad библиотеки scipy.integrate для точного вычисления значения интеграла на заданном отрезке. Разность между приближенным значением интеграла и точным значением интеграла на заданном отрезке вычисляется с помощью функции np.abs .

error = np.abs(integral - spi.quad(f, a, b)[0])

Функция midpoint_rule возвращает приближенное значение определенного интеграла и погрешность

Результат вычисления интеграла по формуле центральных прямоугольников

Для начала зададим начальные данные в нашу программу, чтобы ей было с чем работать:

f = lambda x: x # функция, которую нужно проинтегрировать a = 0.5 # начало отрезка b = 1 # конец отрезка n = 5 # количество интервалов integral, error = midpoint_rule(f, a, b, n)

Полный код метода центральных прямоугольников на Python

import numpy as np import scipy.integrate as spi def midpoint_rule(f, a, b, n): """ Вычисляет приближенное значение определенного интеграла функции на отрезке [a, b] с использованием метода центральных прямоугольников с n интервалами. f: функция, которую нужно проинтегрировать a: начало отрезка b: конец отрезка n: количество интервалов Возвращает приближенное значение определенного интеграла и погрешность. """ delta_x = (b - a) / n # длина интервала x = np.linspace(a + delta_x / 2, b - delta_x / 2, n) # середины интервалов y = f(x) # значения функции в серединах интервалов integral = np.sum(y * delta_x) # приближенное значение интеграла error = np.abs(integral - spi.quad(f, a, b)[0]) # погрешность return integral, error # Пример использования функции f = lambda x: x # функция, которую нужно проинтегрировать a = 0.5 # начало отрезка b = 1 # конец отрезка n = 5 # количество интервалов integral, error = midpoint_rule(f, a, b, n) print("Приближенное значение интеграла:", integral) print("Погрешность:", error)

Источник